Determine, utilizando un Teorema de Existência e Unicidade, um intervalo no qual certamente existe solução do P.V.I.
l (t^2-4) y^prime+(ln t) y=5 t y(1)=7

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O que temos aqui é um Problema de Valor Inicial (P.V.I.) para uma equação diferencial. O objetivo é usar um Teorema de Existência e Unicidade para encontrar um intervalo onde sabemos que existe uma solução única para essa equação. Vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e os teoremas que garantem a existência e unicidade das soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para deixá-la no formato padrão. Temos:
(t^2-4) y^prime + (ln t) y = 5 t
Queremos isolar y^prime + ln tt^2 - 4 y = 5tt^2 - 4 , então dividimos todos os termos por y' + P(t) y = Q(t) :
P(t) = ln tt^2 - 4 e Q(t) = 5tt^2 - 4
Agora, nossa equação está na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
onde:

Passo 3

Para aplicar o Teorema de Existência e Unicidade de Picard-Lindelöf, precisamos que e sejam contínuos em um intervalo ao redor do ponto inicial .
Vamos analisar onde e são contínuos:
  1. Denominador : Isso nos dá e .
  2. Logaritmo natural : deve ser maior que 0.
Então, para que e sejam contínuos, precisamos que e . Mas como nosso ponto inicial é , consideramos apenas os valores próximos a 1 que não incluem 2 ou -2.

Passo 4

Agora, identificamos o menor intervalo que contém 0 < t < 2 e onde e são contínuos. Observando as restrições:
  • (já que , não precisamos nos preocupar com -2)
Então, o intervalo mais próximo de 1 que não inclui 2 é de 0 até 2:

Passo 5

Portanto, de acordo com o Teorema de Existência e Unicidade, existe uma solução única para o P.V.I. dado no intervalo:
(0, , 2)

Resposta

Existe uma solução única para o P.V.I. no intervalo .

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