Determine, utilizando un Teorema de Existência e Unicidade, um intervalo no qual certamente existe solução do P.V.I.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O que temos aqui é um Problema de Valor Inicial (P.V.I.) para uma equação diferencial. O objetivo é usar um Teorema de Existência e Unicidade para encontrar um intervalo onde sabemos que existe uma solução única para essa equação. Vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e os teoremas que garantem a existência e unicidade das soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para deixá-la no formato padrão. Temos:
Queremos isolar
, então dividimos todos os termos por
:
Agora, nossa equação está na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
onde:
Passo 3
Para aplicar o Teorema de Existência e Unicidade de Picard-Lindelöf, precisamos que
e
sejam contínuos em um intervalo ao redor do ponto inicial
.
Vamos analisar onde
e
são contínuos:
- Denominador
: Isso nos dá e . - Logaritmo natural
: deve ser maior que 0.
Então, para que
e
sejam contínuos, precisamos que
e
. Mas como nosso ponto inicial é
, consideramos apenas os valores próximos a 1 que não incluem 2 ou -2.
Passo 4
Agora, identificamos o menor intervalo que contém
e onde
e
são contínuos. Observando as restrições:
-
-
-
(já que , não precisamos nos preocupar com -2)
Então, o intervalo mais próximo de 1 que não inclui 2 é de 0 até 2:
Passo 5
Portanto, de acordo com o Teorema de Existência e Unicidade, existe uma solução única para o P.V.I. dado no intervalo:
Resposta
Existe uma solução única para o P.V.I. no intervalo
.