Numa propriedade agrícola, sabe-se que das árvores
são de folha caduca,
são de fruto e das árvores de fruto
tem folha caduca. Calcule a probabilidade de uma árvore da propriedade, escolhida ao acaso:
a) não ser arvore de fruto; (
)
b) ser arvore de fruto ou de folha caduca; (R: 0,975)
c) ser arvore de fruto, sabendo que tem folha caduca. (R: 0,625)
a) não ser arvore de fruto; (
b) ser arvore de fruto ou de folha caduca; (R: 0,975)
c) ser arvore de fruto, sabendo que tem folha caduca. (R: 0,625)
Passo 1
O enunciado pede para calcular probabilidades envolvendo árvores de uma propriedade. As perguntas são:
a) Qual a probabilidade de uma árvore escolhida ao acaso não ser árvore de fruto?
b) Qual a probabilidade de uma árvore escolhida ao acaso ser árvore de fruto ou de folha caduca?
c) Qual a probabilidade de uma árvore ser de fruto, sabendo que ela tem folha caduca?
a) Qual a probabilidade de uma árvore escolhida ao acaso não ser árvore de fruto?
b) Qual a probabilidade de uma árvore escolhida ao acaso ser árvore de fruto ou de folha caduca?
c) Qual a probabilidade de uma árvore ser de fruto, sabendo que ela tem folha caduca?
Informações dadas (vou definir nomes para usar depois):
- A proporção de árvores de folha caduca é
. Vou escrever isso como . - A proporção de árvores de fruto é
. Vou escrever isso como . - Das árvores de fruto,
têm folha caduca. Isso é a probabilidade condicional .
Passo 2
Definindo os eventos para ficar claro:
-
= “árvore de fruto”. Assim . -
= “árvore de folha caduca”. Assim . - O evento complementar de
(não ser árvore de fruto) é .
Vou lembrar duas fórmulas que usaremos:
- Complemento:
. Isso vem da ideia de que ou a árvore é de fruto ou não — as duas possibilidades cobrem tudo. - União:
. Subtraímos a interseção para não contar duas vezes os que são simultaneamente e . - Regra da probabilidade condicional / multiplicativa:
. Isso expressa a interseção como “probabilidade de multiplicada pela probabilidade de dado que ocorreu”.
Passo 3
Resolver (a): probabilidade de não ser árvore de fruto.
Usando o complemento:
Substituindo
:
Passo 4
Preparar para (b): precisamos de
. Pela fórmula da união precisamos de
. Não foi dada diretamente, mas foi dada
, então usamos a regra multiplicativa para obter a interseção.
Explicando a multiplicativa de forma intuitiva:
é a probabilidade de uma árvore ser de fruto e ter folha caduca ao mesmo tempo. Podemos calcular primeiro a chance de ser de fruto (
) e, entre essas, a fração que tem folha caduca (
). Multiplica-se esses dois números.
Passo 5
Calcular a interseção
:
Substituindo
e
:
Passo 6
Calcular (b) usando a fórmula da união:
Substituindo os valores
:
Fazendo as contas passo a passo:
Passo 7
Resolver (c): probabilidade de ser árvore de fruto sabendo que tem folha caduca, isto é
.
Usamos a definição de probabilidade condicional:
Já temos
e
. Substituindo:
Agora a divisão:
Passo 8
Checagem rápida (sanidade): todas as probabilidades estão entre
e
; a união
é menor que
; os números batem com os valores fornecidos no enunciado. Tudo consistente.
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)