Numa propriedade agrícola, sabe-se que das árvores 60 \% são de folha caduca, 75 \% são de fruto e das árvores de fruto 50 \% tem folha caduca. Calcule a probabilidade de uma árvore da propriedade, escolhida ao acaso:
a) não ser arvore de fruto; ( \mathbf{R}: \mathbf{0 , 2 5} )
b) ser arvore de fruto ou de folha caduca; (R: 0,975)
c) ser arvore de fruto, sabendo que tem folha caduca. (R: 0,625)

Passo 1

O enunciado pede para calcular probabilidades envolvendo árvores de uma propriedade. As perguntas são:
a) Qual a probabilidade de uma árvore escolhida ao acaso não ser árvore de fruto?
b) Qual a probabilidade de uma árvore escolhida ao acaso ser árvore de fruto ou de folha caduca?
c) Qual a probabilidade de uma árvore ser de fruto, sabendo que ela tem folha caduca?
Informações dadas (vou definir nomes para usar depois):
  • A proporção de árvores de folha caduca é 60\%. Vou escrever isso como \,P\text{(C)}=0,60\,.
  • A proporção de árvores de fruto é 75\%. Vou escrever isso como \,P(F)=0,75\,.
  • Das árvores de fruto, 50\% têm folha caduca. Isso é a probabilidade condicional \,P(C\mid F)=0,50\,.

Passo 2

Definindo os eventos para ficar claro:
  • F = “árvore de fruto”. Assim \,P(F)=0,75\,.
  • C = “árvore de folha caduca”. Assim \,P\text{(C)}=0,60\,.
  • O evento complementar de F (não ser árvore de fruto) é F^{c}.
Vou lembrar duas fórmulas que usaremos:
  1. Complemento: \,P(F^{c})=1-P(F)\,. Isso vem da ideia de que ou a árvore é de fruto ou não — as duas possibilidades cobrem tudo.
  2. União: \,P(F\cup C)=P(F)+P\text{(C)}-P(F\cap C)\,. Subtraímos a interseção para não contar duas vezes os que são simultaneamente F e C.
  3. Regra da probabilidade condicional / multiplicativa: \,P(F\cap C)=P(F)\,P(C\mid F)=P\text{(C)}\,P(F\mid C)\,. Isso expressa a interseção como “probabilidade de F multiplicada pela probabilidade de C dado que F ocorreu”.

Passo 3

Resolver (a): probabilidade de não ser árvore de fruto.
Usando o complemento:
P(F^{c})=1-P(F).
Substituindo \,P(F)=0,75\,:
P(F^{c})=1-0,75=0,25.

Passo 4

Preparar para (b): precisamos de P(F\cup C). Pela fórmula da união precisamos de P(F\cap C). Não foi dada diretamente, mas foi dada \,P(C\mid F)=0,50\,, então usamos a regra multiplicativa para obter a interseção.
Explicando a multiplicativa de forma intuitiva: \,P(F\cap C)\, é a probabilidade de uma árvore ser de fruto e ter folha caduca ao mesmo tempo. Podemos calcular primeiro a chance de ser de fruto ( P(F)) e, entre essas, a fração que tem folha caduca ( P(C\mid F)). Multiplica-se esses dois números.

Passo 5

Calcular a interseção \,P(F\cap C):
P(F\cap C)=P(F)\cdot P(C\mid F).
Substituindo \,P(F)=0,75\, e \,P(C\mid F)=0,50\,:
P(F\cap C)=0,75\cdot 0,50=0,375.

Passo 6

Calcular (b) usando a fórmula da união:
P(F\cup C)=P(F)+P\text{(C)}-P(F\cap C).
Substituindo os valores \,P(F)=0,75\,,\;P\text{(C)}=0,60\,,\;P(F\cap C)=0,375\,:
P(F\cup C)=0,75+0,60-0,375.
Fazendo as contas passo a passo:
0,75+0,60=1,35,
1,35-0,375=0,975.

Passo 7

Resolver (c): probabilidade de ser árvore de fruto sabendo que tem folha caduca, isto é \,P(F\mid C).
Usamos a definição de probabilidade condicional:
P(F\mid C)=\frac{P(F\cap C)}{P\text{(C)}}.
Já temos \,P(F\cap C)=0,375\, e \,P\text{(C)}=0,60\,. Substituindo:
P(F\mid C)=\frac{0,375}{0,60}.
Agora a divisão:
\frac{0,375}{0,60}=\frac{375}{600}= \frac{5}{8}=0,625.

Passo 8

Checagem rápida (sanidade): todas as probabilidades estão entre 0 e 1; a união 0,975 é menor que 1; os números batem com os valores fornecidos no enunciado. Tudo consistente.

Resposta

a) 0,25
b) 0,975
c) 0,625

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