Dado o par de transformada
, determine os sinais de tempo contínuo correspondentes às seguintes transformadas de Laplace:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado dá o par de transformada
e pede: encontrar o sinal em tempo contínuo cuja transformada de Laplace é
.
Informações relevantes:
- A função no tempo conhecida é
. - A transformada dessa função é dada genericamente por
. - Queremos o sinal
tal que sua transformada seja .
Passo 2
Vou usar uma propriedade de escala do operador de Laplace. Primeiro lembro a definição da transformada de Laplace de uma função
causal (multiplicada por
):
onde
é a variável complexa da transformada e a integral é sobre
.
Agora mostro a propriedade de escala (essa é a fórmula-chave que vamos usar). Seja
. Considere a função
Calculemos sua transformada:
Fazendo a mudança de variável
(portanto
e
), obtemos
A última integral é exatamente
. Logo provamos a propriedade:
Interpretação rápida: multiplicar a variável
por
corresponde a comprimir o tempo por fator
(ou seja, substituir
por
) e ajustar a amplitude por
.
Passo 3
Aplicando a propriedade com
e
(a função dada no enunciado), obtemos que a função no tempo cuja transformada é
é
Simplificando o argumento do cosseno:
Passo 4
Faço uma verificação rápida calculando explicitamente
e
. Sabemos que
Portanto
Agora calcule a transformada da candidata
:
Fazendo a mudança de variável
(então
) obtemos
o que confirma que a expressão do passo anterior está correta.