Dado o par de transformada \cos (2 t) u(t) \Longleftrightarrow X(s), determine os sinais de tempo contínuo correspondentes às seguintes transformadas de Laplace:
(b) X(3 s)

Passo 1

O enunciado dá o par de transformada
\cos(2t)\,u(t) \Longleftrightarrow X(s)
e pede: encontrar o sinal em tempo contínuo cuja transformada de Laplace é \;X(3s).
Informações relevantes:
  • A função no tempo conhecida é \cos(2t)\,u(t).
  • A transformada dessa função é dada genericamente por X(s).
  • Queremos o sinal x_1(t) tal que sua transformada seja X(3s).

Passo 2

Vou usar uma propriedade de escala do operador de Laplace. Primeiro lembro a definição da transformada de Laplace de uma função f(t) causal (multiplicada por u(t)):
F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty} f(t)\,e^{-s t}\,dt,
onde s é a variável complexa da transformada e a integral é sobre t\ge 0.
Agora mostro a propriedade de escala (essa é a fórmula-chave que vamos usar). Seja a>0. Considere a função
g(t)=\frac{1}{a}\,f\!\left(\frac{t}{a}\right)u(t).
Calculemos sua transformada:
\mathcal{L}\{g(t)\}=\int_{0}^{\infty}\frac{1}{a}\,f\!\left(\frac{t}{a}\right)e^{-s t}\,dt.
Fazendo a mudança de variável \tau=\dfrac{t}{a} (portanto t=a\tau e dt=a\,d\tau), obtemos
\mathcal{L}\{g(t)\}=\int_{0}^{\infty}\frac{1}{a}\,f(\tau)e^{-s(a\tau)}\,a\,d\tau =\int_{0}^{\infty} f(\tau)\,e^{-(a s)\tau}\,d\tau.
A última integral é exatamente F(a s). Logo provamos a propriedade:
\boxed{\mathcal{L}\left\{\frac{1}{a}\,f\!\left(\frac{t}{a}\right)u(t)\right\}=F(a s),\quad a>0.}
Interpretação rápida: multiplicar a variável s por a corresponde a comprimir o tempo por fator a (ou seja, substituir t por t/a) e ajustar a amplitude por 1/a.

Passo 3

Aplicando a propriedade com a=3 e f(t)=\cos(2t) (a função dada no enunciado), obtemos que a função no tempo cuja transformada é X(3s) é
x_1(t)=\frac{1}{3}\,\cos\!\left(2\cdot\frac{t}{3}\right)u(t).
Simplificando o argumento do cosseno:
x_1(t)=\frac{1}{3}\cos\!\left(\frac{2t}{3}\right)u(t).

Passo 4

Faço uma verificação rápida calculando explicitamente X(s) e X(3s). Sabemos que
\mathcal{L}\{\cos(2t)u(t)\}=\frac{s}{s^{2}+4}=X(s).
Portanto
X(3s)=\frac{3s}{9s^{2}+4}.
Agora calcule a transformada da candidata x_1(t)=\dfrac{1}{3}\cos\!\left(\dfrac{2t}{3}\right)u(t):
\mathcal{L}\{x_1(t)\}=\int_{0}^{\infty}\frac{1}{3}\cos\!\left(\frac{2t}{3}\right)e^{-s t}dt.
Fazendo a mudança de variável \tau=\dfrac{t}{3} (então dt=3\,d\tau) obtemos
\mathcal{L}\{x_1(t)\}=\int_{0}^{\infty}\cos(2\tau)\,e^{-3s\tau}d\tau = X(3s),
o que confirma que a expressão do passo anterior está correta.

Resposta

\dfrac{1}{3}\cos\!\left(\dfrac{2t}{3}\right)u(t)

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