Dado o par de transformada \cos (2 t) u(t) \Longleftrightarrow X(s), determine os sinais de tempo contínuo correspondentes às seguintes transformadas de Laplace:
(c) X(s+2)

Passo 1

O enunciado dá o par de transformada \cos(2t)\,u(t) \Longleftrightarrow X(s) e pede: encontrar o sinal no domínio do tempo correspondente à transformada \;X(s+2).\n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\;\cos(2t)\,u(t) é a função no tempo cuja transformada é X(s).
A quantidade a ser invertida é X(s+2) (ou seja, o espectro X avaliado em s+2).

Passo 2

Relembrando a definição da transformada de Laplace (aula rápida, tipo “cola” para a prova):
L\{x(t)\} = \int_{0}^{\infty} x(t)\,e^{-s t}\,dt.
Aqui:
  • x(t) é a função no tempo (o sinal que queremos transformar);
  • s é a variável complexa da transformada;
  • a integral vai de 0 até \infty porque usamos a transformada unilateral (o u(t) garante que a função vale zero para t<0).

Passo 3

Agora a propriedade de deslocamento na variável s (muito útil e direta):
Se \;L\{x(t)\}=X(s), então para qualquer constante real a vale
X(s+a) = \int_{0}^{\infty} x(t)\,e^{-(s+a)t}\,dt.
Mas e^{-(s+a)t} = e^{-s t}\,e^{-a t}, logo
X(s+a)=\int_{0}^{\infty} \big(e^{-a t}x(t)\big)\,e^{-s t}\,dt = L\{e^{-a t}x(t)\}.
Interpretação: deslocar s para s+a no domínio de Laplace corresponde a multiplicar o sinal no tempo por e^{-a t}.

Passo 4

Aplicando a propriedade ao caso concreto com a=2:
Como L\{\cos(2t)\,u(t)\}=X(s), segue que
X(s+2) = L\{e^{-2t}\cos(2t)\,u(t)\}.
Ou seja, o sinal no tempo correspondente a X(s+2) é e^{-2t}\cos(2t)\,u(t).

Passo 5

Verificação (opcional, para consolidar a intuição):
Sabemos a transformada de Laplace de \cos(2t)\,u(t):
L\{\cos(2t)\,u(t)\}=\frac{s}{s^{2}+4}=X(s).
Logo
X(s+2)=\frac{s+2}{(s+2)^{2}+4}.
Por outro lado, calcule L\{e^{-2t}\cos(2t)\,u(t)\}:
L\{e^{-2t}\cos(2t)\}=\frac{s+2}{(s+2)^{2}+4},
que coincide com X(s+2). Confere certinho.

Resposta

e^{-2t}\cos(2t)\,u(t)

Exercícios relacionados