Dado o plano de equação vetorial π: X=(2,1,3)+λ(2,1,0)+μ(1,2,2) pede-se:
a) Determine um ponto para π diferente do ponto dado.
b) Verifique se os pontos A=(3,-3,-3) e B=(5,2,1) pertecem ao plano.

Passo 1

O enunciado dá o plano pi em forma paramétrica
X(lambda,mu) = (2,1,3) + lambda,(2,1,0) + mu,(1,2,2)
e pede:
a) encontrar um ponto em pi diferente de (2,1,3);
b) verificar se A=(3,-3,-3) e B=(5,2,1) pertencem a pi.
Vamos usar a ideia de que qualquer ponto do plano é gerado pelos parâmetros lambda e mu, e que pertencer ao plano equivale a resolver um sistema linear para esses parâmetros.

Passo 2

Para achar um ponto diferente do dado, basta atribuir valores quaisquer a lambda e mu. Por exemplo, se escolhermos
lambda=1 e mu=0, então
X(1,0) = (2,1,3) + 1cdot(2,1,0) + 0cdot(1,2,2) = (4,2,3)
Logo, (4,2,3) é um ponto de pi diferente de (2,1,3).

Passo 3

Para verificar se um ponto genérico Q=(xQ,yQ,zQ) pertence a pi, buscamos lambda,mu tais que
(2,1,3) + lambda,(2,1,0) + mu,(1,2,2) = (xQ,yQ,zQ)
Isso leva ao sistema
2 + 2lambda + mu = xQ, 1 + lambda + 2mu = yQ, 3 + 2mu = zQ

Passo 4

Aplicando a
Da terceira equação .
Verificando a segunda: , que coincide com .
Portanto há solução e pertence a .

Passo 5

Aplicando a
Da terceira equação .
Na segunda: .
Não há consistência, logo não pertence a .

Resposta

a) Por exemplo, (4,2,3).
b) A pertence a pi; B não pertence a pi.

Exercícios relacionados