Dado o plano de equação x-2 y+z=3, determine a projeção ortogonal do ponto P(1,2,-1) sobre o plano.

Passo 1

O enunciado dá o plano
x - 2y + z = 3
e o ponto P(1,2,-1). Queremos a projeção ortogonal de P no plano. Para isso usamos a fórmula: se o plano é ax+by+cz=d e P=(x0,y0,z0), então
P' ;=; P ;-; ax0 + by0 + cz0 - da^2 + b^2 + c^2,(a,b,c)

Passo 2

Identificamos a=1, b=-2, c=1 e d=3. O vetor normal ao plano é
n = (a,b,c) = (1,-2,1)

Passo 3

Calculamos o fator de deslocamento ao longo de n:
numerador = a x0 + b y0 + c z0 - d = 1cdot1 + (-2)cdot2 + 1cdot(-1) - 3 = -7,
denominador = a^2 + b^2 + c^2 = 1^2 + (-2)^2 + 1^2 = 6,
logo o fator é -76.

Passo 4

Substituindo na fórmula:
P' = (1,2,-1);-;-76,(1,-2,1) = (1,2,-1);+;76(1,-2,1)
hphantomP'=l(1+tfrac76,,2-tfrac146,,-1+tfrac76r) =l(tfrac136,,-tfrac13,,tfrac16r)

Resposta

A projeção ortogonal de P(1,2,-1) sobre o plano x-2y+z=3 é
l(tfrac136,,-tfrac13,,tfrac16r)

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