Determine a equação geral do plano que passa pelos pontos A(1,0,2), B(0,1,3) e C(2,1,1)

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano que passa pelos pontos A(1,0,2), B(0,1,3) e C(2,1,1). Vamos usar geometria analítica no espaço: primeiro encontramos dois vetores no plano, depois calculamos o vetor normal pelo produto vetorial e, por fim, aplicamos a forma ponto-normal do plano.

Passo 2

Formamos os vetores
u = AB = B - A = (0-1,;1-0,;3-2) = (-1,1,1)
v = AC = C - A = (2-1,;1-0,;1-2) = (1,1,-1)

Passo 3

O vetor normal n = (n1,n2,n3) é dado pelo produto vetorial utimesv, cujas componentes são
n1 = u2v3 - u3v2, n2 = u3v1 - u1v3, n3 = u1v2 - u2v1
Substituindo u=(-1,1,1) e v=(1,1,-1) obtemos
n1 = 1cdot(-1) - 1cdot1 = -2, n2 = 1cdot1 - (-1)cdot(-1) = 0, n3 = (-1)cdot1 - 1cdot1 = -2,
logo n=(-2,0,-2), que podemos simplificar por -2 para obter n=(1,0,1).

Passo 4

A forma ponto-normal do plano é
ncdotl((x,y,z)- (x0,y0,z0)r) = 0
Escolhendo o ponto A(1,0,2) como (x0,y0,z0) e n=(1,0,1), temos
(1,0,1)cdotl((x,y,z)-(1,0,2)r) = 0 ;Longrightarrow;(x-1)+(z-2)=0

Passo 5

Simplificando a equação, obtemos
x + z - 3 = 0
Verificamos que B e C também satisfazem essa equação, confirmando que o plano está correto.

Resposta

A equação geral do plano é
x + z - 3 = 0

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