Dado o plano pi de equação 2 x-y-z+4=0, determine um sistema de equações paramétricas de pi. Dica: encontre três pontos A, B e C, não alinhados e pertencentes ao plano, e através deles encontre dois vetores de base.

Passo 1

O enunciado pede um sistema de equações paramétricas para o plano pi de equação
2x - y - z + 4 = 0
O conteúdo aqui é representação paramétrica de um plano, que requer um ponto A pertencente a pi e dois vetores diretores u e v formados por pontos distintos no plano.

Passo 2

Vamos encontrar três pontos A, B e C não alinhados em pi.
  1. Tomando x=0 e y=0 na equação do plano, vem
2cdot0 - 0 - z + 4 = 0 Longrightarrow z = -4,
logo A = (0,0,-4).
2. Tomando x=0 e z=0, vem
2cdot0 - y - 0 + 4 = 0 Longrightarrow y = 4,
logo B = (0,4,0).
3. Tomando y=0 e z=0, vem
2x - 0 - 0 + 4 = 0 Longrightarrow x = -2,
logo C = (-2,0,0).

Passo 3

Agora formamos dois vetores diretores a partir desses pontos:
u = AB = B - A = (0,4,0) - (0,0,-4) = (0,4,4),
v = AC = C - A = (-2,0,0) - (0,0,-4) = (-2,0,4)

Passo 4

A forma paramétrica do plano usa o ponto A e os vetores u e v. Chamando os parâmetros de s e t, temos
(x,y,z) = (0,0,-4) + s,(0,4,4) + t,(-2,0,4)
Separando em coordenadas, obtemos
x = -2,t, y = 4,s, z = -4 + 4,s + 4,t, s,tinR

Resposta

x = -2,t, y = 4,s, z = -4 + 4,s + 4,t, s,tinR

Exercícios relacionados