Determine a equação geral do plano para os casos onde:
o plano que contém as retas:
r: c x=1+2 t y=-2+3 t z=3-t e s:l x=1-2 t y=-2-t z=3+2 t
onde t in R.

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano que contém as retas
r:;x=1+2t,;y=-2+3t,;z=3-t
e
s:;x=1-2u,;y=-2-u,;z=3+2u
com t,uinR. Para determinar um plano precisamos de um ponto sobre ele e de um vetor normal. Vamos:
  1. Achar um ponto comum a r e s.
  2. Obter dois vetores diretores das retas.
  3. Calcular o vetor normal por produto vetorial.
  4. Escrever a equação usando o ponto e o normal.

Passo 2

Encontramos o ponto de interseção resolvendo
1+2t = 1-2u, -2+3t = -2-u, 3-t = 3+2u
Da primeira: 2t+2u=0implies t=-u. Substituindo na segunda:
-2+3(-u) = -2 - u implies -2-3u = -2-u implies -3u = -u implies u=0implies t=0
Logo as retas se cruzam em
P = r(0) = (1,,-2,,3)

Passo 3

Os vetores diretores são
v = r'(t) = (2,,3,,-1), w = s'(u) = (-2,,-1,,2)

Passo 4

O vetor normal n ao plano é o produto vetorial
n = vtimesw = i & j & k 2 & 3 & -1 -2 & -1 & 2 = (3cdot2 -(-1)cdot(-1),;-,(2cdot2 -(-1)cdot(-2)),;2cdot(-1)-3cdot(-2))
n = (6-1,;-,(4-2),;-2+6) = (5,,-2,,4)

Passo 5

A forma vetorial do plano com normal n=(5,-2,4) passando por P=(1,-2,3) é
ncdotl((x,y,z)-Pr)=0 Longrightarrow 5(x-1)-2(y+2)+4(z-3)=0

Passo 6

Basta expandir e organizar em ax+by+cz+d=0:
5x-5 -2y -4 +4z -12 = 0 Longrightarrow 5x -2y +4z -21 = 0

Resposta

A equação geral do plano é
5x - 2y + 4z - 21 = 0

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