Encontre a equação, os elementos principais (focos, vértices, excentricidade, centro e eixos) e esboce o gráfico da elipse caracterizada por:
Dois vértices em
e
e distância focal igual a 4 .
Dois vértices em
Passo 1
Resumindo: queremos a elipse cujo dois vértices são
e
e cuja distância entre os focos é
. O conteúdo usado será a forma padrão da elipse, a relação
e a definição de excentricidade
. Precisamos achar o centro, semieixo maior
, semieixo menor
, metade da distância focal
, equação canônica, focos, vértices, excentricidade e esboço.
Passo 2
O centro
é o ponto médio de
e
. Logo,
A distância entre os vértices é
, então o semieixo maior é
Passo 3
“Distância focal igual a
” significa que a distância entre os dois focos é
. Assim
Passo 4
Usando
, temos
portanto
Passo 5
Como o eixo maior é vertical (vértices com mesma
), a equação canônica é
Passo 6
Listando os elementos principais:
— Centro: .
— Vértices: ,
.
— Focos: estão a unidades do centro ao longo do eixo
, logo
— Centro:
— Vértices:
— Focos: estão a
— Excentricidade:
— Eixo maior: segmento vertical de comprimento
em
.
— Eixo menor: segmento horizontal de comprimento em
.
— Esboço: elipse centralizada em , estendida até
e
verticalmente e até
horizontalmente, com focos em
.
— Eixo menor: segmento horizontal de comprimento
— Esboço: elipse centralizada em
Resposta
Equação:
Centro:
.
Vértices: ,
.
Focos: ,
.
Excentricidade: .
Eixo maior: comprimento em
.
Eixo menor: comprimento em
.
Esboço: elipse vertical de semi-eixos ,
, centrada em
, com focos em
.
Vértices:
Focos:
Excentricidade:
Eixo maior: comprimento
Eixo menor: comprimento
Esboço: elipse vertical de semi-eixos