Encontre a equação, os elementos principais (focos, vértices, excentricidade, centro e eixos) e esboce o gráfico da elipse caracterizada por:
Dois vértices em A1(3,-4) e A2(3,4) e distância focal igual a 4 .

Passo 1

Resumindo: queremos a elipse cujo dois vértices são A1(3,-4) e A2(3,4) e cuja distância entre os focos é 4. O conteúdo usado será a forma padrão da elipse, a relação
c^2 = a^2 - b^2
e a definição de excentricidade e = tfracca. Precisamos achar o centro, semieixo maior a, semieixo menor b, metade da distância focal c, equação canônica, focos, vértices, excentricidade e esboço.

Passo 2

O centro C é o ponto médio de A1 e A2. Logo,
Cl(h,kr) =l(tfrac3+32,,tfrac-4+42r) =(3,0)
A distância entre os vértices é 8, então o semieixo maior é
a=tfrac82=4

Passo 3

“Distância focal igual a 4” significa que a distância entre os dois focos é 2c=4. Assim
c=2

Passo 4

Usando c^2 = a^2 - b^2, temos
b^2 = a^2 - c^2 = 4^2 - 2^2 =16 -4 =12,
portanto
b=raiz12=2raiz3

Passo 5

Como o eixo maior é vertical (vértices com mesma x), a equação canônica é
(x-3)^2b^2 + (y-0)^2a^2 = 1 Longrightarrow (x-3)^212 + y^216 = 1

Passo 6

Listando os elementos principais:
— Centro: C=(3,0).
— Vértices: A1=(3,-4), A2=(3,4).
— Focos: estão a c=2 unidades do centro ao longo do eixo y, logo
F1=(3,-2), F2=(3,2)
— Excentricidade:
e=ca=24=tfrac12
— Eixo maior: segmento vertical de comprimento 2a=8 em x=3.
— Eixo menor: segmento horizontal de comprimento 2b=4raiz3 em y=0.
— Esboço: elipse centralizada em (3,0), estendida até (3,4) e (3,-4) verticalmente e até (3pm2raiz3,0) horizontalmente, com focos em (3,pm2).

Resposta

Equação:
(x-3)^212 + y^216 = 1
Centro: (3,0).
Vértices: (3,-4), (3,4).
Focos: (3,-2), (3,2).
Excentricidade: e=tfrac12.
Eixo maior: comprimento 8 em x=3.
Eixo menor: comprimento 4raiz3 em y=0.
Esboço: elipse vertical de semi-eixos a=4, b=2raiz3, centrada em (3,0), com focos em (3,pm2).

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