Determine a transformada de Laplace dos sinais abaixo:
f(x)=\delta(t)+2 u(t)-3 e^{-2 t} u(t)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a transformada de Laplace do sinal
f(t)=\delta(t)+2\,u(t)-3\,e^{-2t}u(t).
Pergunta que temos que responder: qual é \mathcal{L}\{f(t)\}?
Informações dadas que vamos usar: a função é a soma de três termos — o delta de Dirac \delta(t), a função degrau unitário u(t) (que vale 1 para t\ge0) e a exponencial \;e^{-2t}u(t) — com os coeficientes +1, +2 e -3 respectivamente. A função é causal (todos os termos estão multiplicados por u(t) ou são \delta(t)), então usaremos a definição da transformada de Laplace para t\ge0.

Passo 2

Vamos lembrar a definição e uma propriedade fundamental que usaremos: a transformada unilateral (causal) de Laplace de uma função g(t) é
\mathcal{L}\{g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} g(t)\,e^{-s t}\,dt,
onde s é uma variável complexa e a integral converge para s em alguma região do plano complexo (região de convergência). Também usaremos a propriedade da linearidade:
\mathcal{L}\{a\,g_1(t)+b\,g_2(t)\}=a\,\mathcal{L}\{g_1(t)\}+b\,\mathcal{L}\{g_2(t)\},
para constantes a,b.

Passo 3

Transformada de \delta(t). Aplicando a definição diretamente, usando a propriedade de amostragem (sifting) do delta:
\mathcal{L}\{\delta(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}\delta(t)\,e^{-s t}\,dt=e^{-s\cdot 0}=1.
Explicação didática: \delta(t) “pega” o valor da função multiplicadora em t=0; como e^{-s\cdot 0}=1, o resultado é 1. Note que isso é válido independentemente de s.

Passo 4

Transformada de u(t). Aqui u(t)=1 para t\ge0, então
\mathcal{L}\{u(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}1\cdot e^{-s t}\,dt.
Calculamos a integral (assumindo \operatorname{Re}(s)>0 para garantir convergência):
\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt=\left[-\frac{1}{s}e^{-s t}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{s}.
Portanto \mathcal{L}\{u(t)\}(s)=\dfrac{1}{s} para \operatorname{Re}(s)>0. Explicação: a integral de uma exponencial decrescente resulta em 1/s; a condição \operatorname{Re}(s)>0 garante que e^{-s t}\to0 quando t\to\infty.

Passo 5

Transformada de e^{-2t}u(t). Aplicando a definição:
\mathcal{L}\{e^{-2t}u(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-2t} e^{-s t}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s+2)t}\,dt.
Integrando (assumindo \operatorname{Re}(s+2)>0, isto é \operatorname{Re}(s)>-2):
\int_{0}^{\infty} e^{-(s+2)t}\,dt=\frac{1}{s+2}.
Portanto \mathcal{L}\{e^{-2t}u(t)\}(s)=\dfrac{1}{s+2} para \operatorname{Re}(s)>-2. Observação didática: o termo e^{-2t} desloca o parâmetro s para s+2 na fórmula padrão.

Passo 6

Agora usamos linearidade para combinar as três transformadas com seus coeficientes:
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\mathcal{L}\{\delta(t)\}+2\,\mathcal{L}\{u(t)\}-3\,\mathcal{L}\{e^{-2t}u(t)\}.
Substituindo os resultados obtidos nos passos anteriores:
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=1+\frac{2}{s}-\frac{3}{s+2}.
Região de convergência: a interseção das condições é \operatorname{Re}(s)>0 (porque o termo 1/s exige isso), então a transformada é válida para \operatorname{Re}(s)>0.

Passo 7

(se quiser simplificar em uma única fração racional) Colocando em denominador comum s(s+2):
1+\frac{2}{s}-\frac{3}{s+2}=\frac{s(s+2)}{s(s+2)}+\frac{2(s+2)}{s(s+2)}-\frac{3s}{s(s+2)}=\frac{s^{2}+s+4}{s(s+2)}.
Isso é apenas uma forma racional equivalente, também válida para \operatorname{Re}(s)>0.

Resposta

\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=1+\frac{2}{s}-\frac{3}{s+2}

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