Determine a transformada de Laplace dos sinais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para determinar a transformada de Laplace do sinal
Pergunta que temos que responder: qual é
?
Informações dadas que vamos usar: a função é a soma de três termos — o delta de Dirac , a função degrau unitário
(que vale
para
) e a exponencial
— com os coeficientes
,
e
respectivamente. A função é causal (todos os termos estão multiplicados por
ou são
), então usaremos a definição da transformada de Laplace para
.
Informações dadas que vamos usar: a função é a soma de três termos — o delta de Dirac
Passo 2
Vamos lembrar a definição e uma propriedade fundamental que usaremos: a transformada unilateral (causal) de Laplace de uma função
é
onde
é uma variável complexa e a integral converge para
em alguma região do plano complexo (região de convergência). Também usaremos a propriedade da linearidade:
para constantes
.
Passo 3
Transformada de
. Aplicando a definição diretamente, usando a propriedade de amostragem (sifting) do delta:
Explicação didática:
“pega” o valor da função multiplicadora em
; como
, o resultado é
. Note que isso é válido independentemente de
.
Passo 4
Transformada de
. Aqui
para
, então
Calculamos a integral (assumindo
para garantir convergência):
Portanto
para
. Explicação: a integral de uma exponencial decrescente resulta em
; a condição
garante que
quando
.
Passo 5
Transformada de
. Aplicando a definição:
Integrando (assumindo
, isto é
):
Portanto
para
. Observação didática: o termo
desloca o parâmetro
para
na fórmula padrão.
Passo 6
Agora usamos linearidade para combinar as três transformadas com seus coeficientes:
Substituindo os resultados obtidos nos passos anteriores:
Região de convergência: a interseção das condições é
(porque o termo
exige isso), então a transformada é válida para
.
Passo 7
(se quiser simplificar em uma única fração racional) Colocando em denominador comum
:
Isso é apenas uma forma racional equivalente, também válida para
.