1. Dado o polinómio p(x)=x^{3}+(k-5) x^{2}-2 x-(3 k+2), determina utilizando o método de Ruffini o valor de k para que p(x) seja divisível por (x-3).

Passo 1

O enunciado nos dá o polinômio
p(x)=x^{3}+(k-5)x^{2}-2x-(3k+2)
e pede o valor de k para que p(x) seja divisível por (x-3). Isso equivale a exigir que x=3 seja raíz de p. Para verificar essa condição de forma eficiente, vamos usar o método de Ruffini (divisão sintética), que fornece diretamente o resto da divisão.

Passo 2

Na divisão sintética de p(x) por (x-3) tomamos o valor 3 e os coeficientes do polinômio em ordem decrescente de grau:
1,\quad (k-5),\quad -2,\quad -(3k+2).

Passo 3

Aplicando Ruffini de forma sequencial:
Primeiro, abaixamos o coeficiente 1. Em seguida, multiplicamos 3 por 1 e somamos ao segundo coeficiente:
(k-5)+3\cdot1=k-2.
Depois, multiplicamos 3 por k-2 e somamos ao terceiro coeficiente:
-2+3\,(k-2)=3k-8.
Por fim, multiplicamos 3 por 3k-8 e somamos ao quarto coeficiente, obtendo o resto:
-(3k+2)+3\,(3k-8)=9k-24-3k-2=6k-26.

Passo 4

Para que p(x) seja divisível por (x-3), o resto deve ser zero:
6k-26=0
k=\frac{26}{6}=\frac{13}{3}.

Resposta

\displaystyle k=\frac{13}{3}

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