1. Dado o polinómio p(x)=2 x^{3}+k x^{2}+(1-k) x-3, determina utilizando o método de Ruffini o valor de k para que p(x) seja divisível por (x+1).

Passo 1

O enunciado dá o polinómio
p(x)=2x^{3}+kx^{2}+(1-k)x-3
e pede o valor de k para que ele seja divisível por (x+1). Isso equivale a exigir que x=-1 seja raiz de p(x), e vamos usar o método de Ruffini (divisão sintética) para encontrar o resto em função de k.

Passo 2

Listamos os coeficientes de p(x) e montamos a tabela de Ruffini para x=-1:
\begin{array}{c|cccc} -1 & 2 & k & 1-k & -3 \\\ \hline & 2 & k-2 & 3-2k & 2k-6 \end{array}
Aqui o último valor 2k-6 é o resto de p(x) quando dividido por (x+1).

Passo 3

Para que (x+1) seja factor de p(x), o resto deve ser zero. Logo,
2k - 6 = 0.

Passo 4

Resolvendo 2k - 6 = 0 obtemos
k = 3.

Resposta

k=3

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