1. No polinómio p(x)=x^{3}+(k-5) x^{2}-2 x-(3 k+2), determina:
    a. O valor de k para que p(x) seja divisível por (x+3).
    b. O valor numérico de p(x) para x=\frac{1}{3} e k=2.

Passo 1

O enunciado dá o polinómio
p(x)=x^{3}+(k-5)x^{2}-2x-(3k+2)
e pede:
a) o valor de k para que p(x) seja divisível por (x+3),
b) o valor numérico de p(x) quando x=\tfrac{1}{3} e k=2.
Vamos usar o Teorema do Resto para a parte (a) e simples substituição para a parte (b).

Passo 2

Para que (x+3) divida p(x) é necessário que o resto ao avaliar em x=-3 seja zero. Pelo Teorema do Resto:
p(-3)=(-3)^{3}+(k-5)(-3)^{2}-2(-3)-(3k+2)=0.
Calculemos:
p(-3)=-27+9(k-5)+6-(3k+2) =-27+9k-45+6-3k-2 =6k-68.
Impondo p(-3)=0 vem
6k-68=0 \quad\Longrightarrow\quad k=\frac{68}{6}=\frac{34}{3}.

Passo 3

Agora, para x=\tfrac{1}{3} e k=2, fazemos a substituição direta em p(x):
p\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr) =\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)^{3}+(2-5)\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)^{2} -2\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)-(3\cdot2+2).
Isto é
p\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr) =\frac{1}{27}-3\cdot\frac{1}{9}-\frac{2}{3}-8 =\frac{1}{27}-\frac{1}{3}-\frac{2}{3}-8 =\frac{1}{27}-1-8 =\frac{1-243}{27} =-\frac{242}{27}.

Resposta

a) k=\displaystyle \frac{34}{3}.
b) p\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)=-\displaystyle \frac{242}{27}.

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