Dado o polinônmio p(x)=x^3-4 x^2+x+6, determine os valores de x in R para os quais p(x) <= 0.

Passo 1

O enunciado pede os valores de xinR tais que
p(x)=x^3-4x^2+x+6<=0
O conteúdo envolvido é fatoração de polinômios (teorema das raízes racionais) e análise de sinal de um polinômio fatorado.

Passo 2

Usamos o teorema das raízes racionais para testar divisores de 6: pm1,pm2,pm3,pm6. Verificamos
p(-1)=(-1)^3-4(-1)^2+(-1)+6=-1-4-1+6=0,
logo x=-1 é raiz. Dividindo p(x) por (x+1) obtemos a quadrática
x^3-4x^2+x+6 = (x+1)(x^2-5x+6)
E x^2-5x+6 fatora como (x-2)(x-3). Portanto
p(x)=(x+1)(x-2)(x-3)

Passo 3

Para estudar o sinal de p(x), observamos os zeros -1, 2 e 3 e o coeficiente líder positivo. Assim:
  • Para x<-1, todos os três fatores são negativos ou positivos de modo que p(x)<0.
  • Entre -1 e 2, apenas um fator muda de sinal, dando p(x)>0.
  • Entre 2 e 3, dois fatores são negativos, logo p(x)<0.
  • Para x>3, todos os fatores são positivos e p(x)>0.
    Incluindo os pontos em que p(x)=0, temos
p(x)<=0Longrightarrow xin(-infty,-1]cup[2,3]

Resposta

(-infty,-1]cup[2,3]

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