Resolva as seguintes inequações:
|x^2-3|x-2>1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
lvert x^2-3rvertx-2 > 1
Isso envolve raciocinar sobre o valor absoluto e sobre o sinal do denominador. O conteúdo é inequação racional com valor absoluto, e vamos precisar estudar o sinal de x^2-3 e de x-2, repartindo o domínio em casos.

Passo 2

Identificamos os pontos que anulam o conteúdo absoluto e o denominador:
x^2-3=0;Longrightarrow;x=pmraiz3, x-2=0;Longrightarrow;x=2
Esses valores particionam a reta real em quatro intervalos:
(-infty,-raiz3),;(-raiz3,raiz3),;(raiz3,2),;(2,infty)

Passo 3

Para x<2 o denominador x-2 é negativo. Então
lvert x^2-3rvertx-2>1 ;Long<=ftrightarrow; lvert x^2-3rvert < (x-2)(inverte o sinal)
Agora em cada subintervalo de x<2:
  1. Se x<-raiz3 ou raiz3<x<2, então x^2-3>0 e lvert x^2-3rvert = x^2-3. A inequação fica
    x^2-3 < x-2 ;Long<=ftrightarrow; x^2-x-1<0,
    cuja solução é 1-raiz52 < x < 1+raiz52. Mas, nem (-infty,-raiz3) nem (raiz3,2) se intersectam com l(tfrac1-raiz52,tfrac1+raiz52r), logo não trazem solução.
  2. Se -raiz3<x<raiz3, então x^2-3<0 e lvert x^2-3rvert = 3-x^2. A inequação vira
    3 - x^2 < x-2 ;Long<=ftrightarrow; x^2 + x -5 >0,
    cuja solução é x<-1-raiz212 ou x>-1+raiz212. Também não há interseção com -raiz3<x<raiz3.
Portanto, não há solução em todo o trecho x<2.

Passo 4

Para x>2 o denominador x-2 é positivo e x^2-3>0, logo lvert x^2-3rvert = x^2-3 e podemos multiplicar sem mudar o sinal:
x^2-3x-2 > 1 ;Long<=ftrightarrow; x^2-3 > x-2 ;Long<=ftrightarrow; x^2-x-1>0
As raízes de x^2-x-1=0 são x=tfrac1pmraiz52, e a inequação polinomial é satisfeita para
x<tfrac1-raiz52 ou x>tfrac1+raiz52
Mas, como estamos em x>2 e tfrac1+raiz52approx1,618<2, fica simplesmente
x>2

Resposta

boxed(2,infty)

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