Mostre que
converge para todo
natural. Deduza que
para todo
natural.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, para cada
, a série
é convergente, e em seguida deduzir que o termo geral
tende a zero quando
.
Conteúdo: vamos usar o teste da razão (teste de Cauchy) para séries positivas e em seguida o fato de que, se uma série converge, seu termo geral tende a zero.
Conteúdo: vamos usar o teste da razão (teste de Cauchy) para séries positivas e em seguida o fato de que, se uma série converge, seu termo geral tende a zero.
Passo 2
Considere o termo geral
Aplicamos o teste da razão, calculando
Como
é fixo e natural,
. Logo
o que, pelo teste da razão, implica que
converge.
Passo 3
Concluímos então que, para todo
,
é convergente.
Passo 4
Um fato geral é que, se
converge, então
. Aplicando isso ao nosso caso, obtemos