Mostre que sumn=0^infty x^nn! converge para todo x natural. Deduza que lim n infty x^nn!=0 para todo x natural.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para cada xinN, a série
sumn=0^infty x^nn!
é convergente, e em seguida deduzir que o termo geral tfracx^nn! tende a zero quando ntoinfty.
Conteúdo: vamos usar o teste da razão (teste de Cauchy) para séries positivas e em seguida o fato de que, se uma série converge, seu termo geral tende a zero.

Passo 2

Considere o termo geral
an = x^nn!
Aplicamos o teste da razão, calculando
L = limntoinfty an+1an = limntoinfty x^n+1/(n+1)!,x^n/n!, = limntoinfty xn+1
Como x é fixo e natural, xn+1to 0. Logo
L = 0 < 1,
o que, pelo teste da razão, implica que sumn=0^infty an converge.

Passo 3

Concluímos então que, para todo xinN,
sumn=0^infty x^nn!
é convergente.

Passo 4

Um fato geral é que, se sum an converge, então anto 0. Aplicando isso ao nosso caso, obtemos
limntoinfty x^nn! = 0

Resposta

limntoinfty x^nn! = 0 para todo xinN.

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