Em um dado ponto de um encanamento cilíndrico horizontal, a velocidade da água é igual a 2,50 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e a pressão manométrica é igual a 1,80 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}. Calcule a pressão manométrica em um segundo ponto do encanamento sabendo que o diâmetro do r no segundo ponto é igual ao dobro do diâmetro do primeiro.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que vem do enunciado está abaixo):
  • No ponto 1: a velocidade da água é \,v_1 = 2,50\\ \mathrm{m/s}\,.
  • No ponto 1: a pressão manométrica é \,p_1 = 1,80\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}\,.
  • A água percorre um encanamento cilíndrico horizontal.
  • No ponto 2: o diâmetro é o dobro do diâmetro do ponto 1, ou seja \,d_2 = 2\,d_1.
    O que o enunciado pede:
  • Calcular a pressão manométrica em 2, isto é \,p_2.

Passo 2

Conservação de massa (equação da continuidade) para escoamento incompressível: a vazão volumétrica é a mesma nos dois pontos, logo
A_1 v_1 = A_2 v_2,
onde A é a área da seção transversal e v é a velocidade local. Para tubos circulares a área escala com o quadrado do diâmetro, então
\frac{A_2}{A_1} = \left(\frac{d_2}{d_1}\right)^2 = 2^2 = 4.
Assim
v_2 = v_1\frac{A_1}{A_2} = v_1\frac{1}{4}.
Substituindo \,v_1 = 2,50\\ \mathrm{m/s}\, obtemos
v_2 = \frac{2,50}{4} = 0,625\\ \mathrm{m/s}.
Explicando em palavras: como o diâmetro dobrou, a área ficou 4 vezes maior, então a velocidade cai para um quarto.

Passo 3

Agora usamos a equação de Bernoulli para um escoamento estacionário, incompressível e sem perda de carga entre os pontos 1 e 2:
p_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g z_1 = p_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g z_2,
onde p é a pressão absoluta (aqui usamos manométrica se referida da mesma referência), \rho é a densidade do fluido, v é a velocidade, g é a aceleração da gravidade e z a cota vertical. Como o tubo é horizontal, z_1=z_2 e os termos com g cancelam. Assim obtemos a forma prática:
p_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^2 = p_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^2.
Rearranjando para p_2:
p_2 = p_1 + \tfrac{1}{2}\rho\bigl(v_1^2 - v_2^2\bigr).
Explicando: a pressão em 2 será maior que em 1 se a velocidade em 1 for maior (energia cinética maior em 1 transfere-se para pressão em 2).

Passo 4

Precisamos de \rho da água. Vou usar o valor usual para água líquida:
\rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3}.
Calculemos as parcelas cinéticas:
v_1^2 = (2,50)^2 = 6,25\\ \mathrm{(m^2/s^2)}, \qquad v_2^2 = (0,625)^2 = 0,390625\\ \mathrm{(m^2/s^2)}.
A diferença é
v_1^2 - v_2^2 = 6,25 - 0,390625 = 5,859375\\ \mathrm{(m^2/s^2)}.

Passo 5

Agora a contribuição dinâmica para a pressão:
\tfrac{1}{2}\rho\bigl(v_1^2 - v_2^2\bigr) = \tfrac{1}{2}\times1000\times5,859375 = 500\times5,859375 = 2929,6875\\ \mathrm{Pa}.
Substituindo em p_2 = p_1 + esse termo, com \,p_1 = 1,80\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}\,, obtemos numericamente
p_2 = 1,80\times10^{5} + 2929,6875 = 182929,6875\\ \mathrm{Pa}.
Arredondando com razoável número de algarismos significativos:
p_2 \approx 1,83\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.

Resposta

p_2 \approx 1,83\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}

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