Uma partícula está na posição \vec{r}=2 \vec{\imath}+4 \vec{\jmath}-5 \vec{k}(\mathrm{em} \mathrm{m}) com uma quantidade de movimento linear \vec{p}=3 \vec{\imath}- 4 \vec{\jmath}+6 \vec{k} (em unidades do SI) e sobre ela atua a força \vec{F}=-3 \vec{\imath}+4 \vec{\jmath}+2 \vec{k}(\mathrm{emN}).
Determine
a) o torque da força.
b) o vetor momento angular da partícula.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) o torque da força aplicada à partícula;
  • (b) o vetor momento angular da partícula.
As informações fornecidas (peguei todos esses dados do enunciado) são:
  • posição: \vec{r}=2\vec{\imath}+4\vec{\jmath}-5\vec{k} (em metros);
  • quantidade de movimento (momento linear): \vec{p}=3\vec{\imath}-4\vec{\jmath}+6\vec{k} (unidades do SI, ou seja \mathrm{kg\cdot m/s});
  • força: \vec{F}=-3\vec{\imath}+4\vec{\jmath}+2\vec{k} (em mili-newtons, isto é, em \mathrm{mN}).
Observação importante sobre unidades: a força foi dada em \mathrm{mN}; para trabalhar em unidades SI convém converter para newtons ( \mathrm{N}) antes de calcular o torque. A conversão é 1\\ \mathrm{mN}=10^{-3}\\ \mathrm{N}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinhos):
  • Torque (ou momento da força) é o “braço de alavanca” da força e é dado pelo produto vetorial
\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}.
Aqui \vec{r} é o vetor posição (em metros) e \vec{F} é a força (em newtons). As unidades de \vec{\tau} são \mathrm{N\cdot m}.
  • Momento angular (ou momento cinético) de uma partícula é o produto vetorial
\vec{L}=\vec{r}\times\vec{p},
onde \vec{p} é o momento linear ( \mathrm{kg\cdot m/s}). As unidades de \vec{L} são \mathrm{kg\cdot m^{2}/s}.
O produto vetorial entre dois vetores (a_x,a_y,a_z) e (b_x,b_y,b_z) pode ser calculado componente a componente por:
(a_y b_z - a_z b_y)\,\vec{\imath} - (a_x b_z - a_z b_x)\,\vec{\jmath} + (a_x b_y - a_y b_x)\,\vec{k}.
Outra forma prática é usar o determinante com a base \vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}:
\vec{a}\times\vec{b}= \begin{vmatrix} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\\ a_x & a_y & a_z \\\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}.
Isto dá as mesmas fórmulas de componentes acima. O sinal alterna no segundo componente (por isso há o sinal negativo no termo de \vec{\jmath}).

Passo 3

Converter a força de \mathrm{mN} para \mathrm{N}:
\vec{F} = (-3,\,4,\,2)\\ \mathrm{mN} = (-3\times10^{-3},\;4\times10^{-3},\;2\times10^{-3})\\ \mathrm{N}.
Vou escrever para facilitar:
\vec{r}=(2,\,4,\,-5)\\ \mathrm{m},\qquad \vec{F}=(-3\cdot10^{-3},\,4\cdot10^{-3},\,2\cdot10^{-3})\\ \mathrm{N}, \qquad \vec{p}=(3,\,-4,\,6)\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 4

Calcular o torque \vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F} por componentes.
Usando a fórmula componente a componente:
\tau_x = r_y F_z - r_z F_y,
\tau_y = -(r_x F_z - r_z F_x),
\tau_z = r_x F_y - r_y F_x.
Vamos calcular cada termo substituindo os valores (todas as grandezas em SI):
  • r_y F_z = 4\cdot(2\cdot10^{-3}) = 8\cdot10^{-3}.
  • r_z F_y = (-5)\cdot(4\cdot10^{-3}) = -20\cdot10^{-3}.
    Logo
\tau_x = 8\cdot10^{-3} - (-20\cdot10^{-3}) = 28\cdot10^{-3}=0,028\\ \mathrm{N\cdot m}.
Agora \tau_y:
  • r_x F_z = 2\cdot(2\cdot10^{-3}) = 4\cdot10^{-3}.
  • r_z F_x = (-5)\cdot(-3\cdot10^{-3}) = 15\cdot10^{-3}.
    Então
r_x F_z - r_z F_x = 4\cdot10^{-3} - 15\cdot10^{-3} = -11\cdot10^{-3}.
Com o sinal do meio:
\tau_y = -(-11\cdot10^{-3}) = 11\cdot10^{-3}=0,011\\ \mathrm{N\cdot m}.
Agora \tau_z:
  • r_x F_y = 2\cdot(4\cdot10^{-3}) = 8\cdot10^{-3}.
  • r_y F_x = 4\cdot(-3\cdot10^{-3}) = -12\cdot10^{-3}.
    Então
\tau_z = 8\cdot10^{-3} - (-12\cdot10^{-3}) = 20\cdot10^{-3}=0,020\\ \mathrm{N\cdot m}.
Portanto o torque é
\vec{\tau}=0,028\vec{\imath}+0,011\vec{\jmath}+0,020\vec{k}\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 5

Agora calculamos o momento angular \vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}. Aqui não precisamos converter unidades porque \vec{p} já está em unidades SI.
Usando as mesmas fórmulas de componentes:
L_x = r_y p_z - r_z p_y,
L_y = -(r_x p_z - r_z p_x),
L_z = r_x p_y - r_y p_x.
Calculemos cada um:
  • r_y p_z = 4\cdot 6 = 24.
  • r_z p_y = (-5)\cdot(-4) = 20.
    Logo
L_x = 24 - 20 = 4.
Para L_y:
  • r_x p_z = 2\cdot 6 = 12.
  • r_z p_x = (-5)\cdot 3 = -15.
    Então
r_x p_z - r_z p_x = 12 - (-15) = 27,
e com o sinal:
L_y = -27.
Para L_z:
  • r_x p_y = 2\cdot(-4) = -8.
  • r_y p_x = 4\cdot 3 = 12.
    Então
L_z = -8 - 12 = -20.
As unidades são \mathrm{kg\cdot m^{2}/s}, portanto
\vec{L}=4\vec{\imath}-27\vec{\jmath}-20\vec{k}\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}/s}.

Passo 6

Checagem rápida de consistência (levando em conta sinais e ordens): os cálculos foram feitos componente a componente com atenção ao sinal do componente \vec{\jmath} do produto vetorial (o sinal negativo no termo do meio é obrigatório). Tudo parece consistente numericamente com as fórmulas aplicadas.

Resposta

\vec{\tau}=0,028\vec{\imath}+0,011\vec{\jmath}+0,020\vec{k}\\ \mathrm{N\cdot m}
\vec{L}=4\vec{\imath}-27\vec{\jmath}-20\vec{k}\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}/s}

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