Uma partícula está na posição \vec{r}=2 \vec{\imath}+4 \vec{\jmath}-5 \vec{k}(\mathrm{em} \mathrm{m}) com uma quantidade de movimento linear \vec{p}=3 \vec{\imath}- 4 \vec{\jmath}+6 \vec{k} (em unidades do SI) e sobre ela atua a força \vec{F}=-3 \vec{\imath}+4 \vec{\jmath}+2 \vec{k}(\mathrm{emN}).
Determine
a) o torque da força.
b) o vetor momento angular da partícula.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) o torque da força aplicada à partícula;
(b) o vetor momento angular da partícula.
As informações fornecidas (peguei todos esses dados do enunciado) são:
posição: \vec{r}=2\vec{\imath}+4\vec{\jmath}-5\vec{k} (em metros);
quantidade de movimento (momento linear): \vec{p}=3\vec{\imath}-4\vec{\jmath}+6\vec{k} (unidades do SI, ou seja \mathrm{kg\cdot m/s});
força: \vec{F}=-3\vec{\imath}+4\vec{\jmath}+2\vec{k} (em mili-newtons, isto é, em \mathrm{mN}).
Observação importante sobre unidades: a força foi dada em \mathrm{mN}; para trabalhar em unidades SI convém converter para newtons (\mathrm{N}) antes de calcular o torque. A conversão é 1\\ \mathrm{mN}=10^{-3}\\ \mathrm{N}.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinhos):
Torque (ou momento da força) é o “braço de alavanca” da força e é dado pelo produto vetorial
\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}.
Aqui \vec{r} é o vetor posição (em metros) e \vec{F} é a força (em newtons). As unidades de \vec{\tau} são \mathrm{N\cdot m}.
Momento angular (ou momento cinético) de uma partícula é o produto vetorial
\vec{L}=\vec{r}\times\vec{p},
onde \vec{p} é o momento linear (\mathrm{kg\cdot m/s}). As unidades de \vec{L} são \mathrm{kg\cdot m^{2}/s}.
O produto vetorial entre dois vetores (a_x,a_y,a_z) e (b_x,b_y,b_z) pode ser calculado componente a componente por:
Checagem rápida de consistência (levando em conta sinais e ordens): os cálculos foram feitos componente a componente com atenção ao sinal do componente \vec{\jmath} do produto vetorial (o sinal negativo no termo do meio é obrigatório). Tudo parece consistente numericamente com as fórmulas aplicadas.