Imagine uma quantidade de hélio em um cilindro com volume inicial de 1 litro e pressão inicial de 1 atm . O hélio passa por uma expansão que leva seu volune a 3 litros, de modo que a pressão se eleva de forma diretamente proporcional ao volume.
( 0,5 ponto) a. Esboce um gráfico \mathrm{P} \times \mathrm{V} para este processo.
( 0,5 ponto) b. Calcule o trabalho realizado sobre o gás durante este processo, assumindo que não há outras formas de trabalho sendo realizadas.
( 0,5 ponto) c. Calcule a mudança de energia interna do hélio durante este processo.
( 0,5 ponto) d. Calcule a quanto calor é adicionado ou removido do hélio durante este processo.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede as coisas listadas abaixo.
  • Dados fornecidos:
    • Volume inicial \,V_1 = 1\\ \mathrm{L}.
    • Pressão inicial \,P_1 = 1\\ \mathrm{atm}.
    • Volume final \,V_2 = 3\\ \mathrm{L}.
    • A pressão varia diretamente proporcional ao volume (isto é, \,P é proporcional a \,V).
  • O que o enunciado pede:
    • (a) Esboçar o gráfico \mathrm{P}\times\mathrm{V} para esse processo.
    • (b) Calcular o trabalho realizado sobre o gás durante o processo (assumindo só trabalho de pressão).
    • (c) Calcular a mudança de energia interna do hélio durante o processo.
    • (d) Calcular quanto calor é adicionado ou removido do hélio durante o processo.

Passo 2

Encontrar a relação \,P(V) usando a proporcionalidade direta.
  • Se \,P é proporcional a \,V, então existe constante \,k tal que
P = k\,V.
  • Usa-se a condição inicial para achar \,k:
k=\frac{P_1}{V_1}=\frac{1\\ \mathrm{atm}}{1\\ \mathrm{L}}=1\\ \frac{\mathrm{atm}}{\mathrm{L}}.
  • Logo a lei do processo é
P(V)=1\\ \frac{\mathrm{atm}}{\mathrm{L}}\;V.
  • Pressão final:
P_2 = k\,V_2 = 1\\ \frac{\mathrm{atm}}{\mathrm{L}}\times 3\\ \mathrm{L}=3\\ \mathrm{atm}.
Portanto os pontos importantes no diagrama são (V_1,P_1)=(1\\ \mathrm{L},1\\ \mathrm{atm}) e (V_2,P_2)=(3\\ \mathrm{L},3\\ \mathrm{atm}).

Passo 3

Esboço do gráfico \mathrm{P}\times\mathrm{V} (resposta da letra a), explicado de modo que dê para desenhar na prova).
  • Como P(V)=kV e k>0, o gráfico é uma reta passando pela origem com inclinação k.
  • Marcar no eixo horizontal V (em litros) o ponto 1 e 3. No eixo vertical P (em atm) marcar 1 e 3.
  • Traçar a reta que passa pela origem e pelos pontos (1,1) e (3,3). Essa reta é o esboço pedido.

Passo 4

Cálculo do trabalho realizado sobre o gás (letra b). Explicação das fórmulas e sinais.
  • Definição: o trabalho realizado pelo gás ao expandir, em um processo quasi-estático, é
W_{\text{by}}=\int_{V_1}^{V_2} P(V)\,dV.
  • O trabalho realizado sobre o gás é o negativo do trabalho feito pelo gás:
W_{\text{on}}=-W_{\text{by}}=-\int_{V_1}^{V_2} P(V)\,dV.
  • Substitui P(V)=kV e integra:
W_{\text{on}}=-\int_{V_1}^{V_2} kV\,dV = -k\left[\frac{V^2}{2}\right]_{V_1}^{V_2} = -\frac{k}{2}\left(V_2^{2}-V_1^{2}\right).
  • Usando k=1\\ \mathrm{atm}/\mathrm{L}, V_1=1\\ \mathrm{L}, V_2=3\\ \mathrm{L}:
W_{\text{on}}=-\frac{1\\ \mathrm{atm}/\mathrm{L}}{2}\left(3^2-1^2\right)\mathrm{L}^2 = -\frac{1}{2}(9-1)\\ \mathrm{atm\cdot L} = -4\\ \mathrm{atm\cdot L}.
  • Converter para joules: 1\\ \mathrm{atm\cdot L}=101{,}325\\ \mathrm{J}. Então
W_{\text{on}} = -4\times 101{,}325\\ \mathrm{J} = -405{,}300\\ \mathrm{J}.
  • Para ficar com números mais legíveis (3 algarismos significativos apropriados):
W_{\text{on}} \approx -405{,}3\\ \mathrm{J}.
Interpretação rápida: sinal negativo significa que, no total, o gás realizou trabalho para fora e, portanto, o trabalho realizado sobre ele é negativo.

Passo 5

Cálculo da mudança de energia interna do hélio (letra c). Explicação das fórmulas usadas.
  • Para um gás ideal monoatômico (hélio), a energia interna total é proporcional à temperatura e vale
U=\frac{3}{2}nRT,
onde n é o número de mols, R a constante universal dos gases e T a temperatura absoluta.
  • A variação de energia interna é
\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T.
  • Usando a equação dos gases ideais PV=nRT, temos nR T = PV. Assim
\Delta U = \frac{3}{2}\bigl(nR T_2 - nR T_1\bigr) = \frac{3}{2}\bigl(P_2V_2 - P_1V_1\bigr).
(esse passo evita conhecer n ou T explicitamente).
  • Calcular P_2V_2 - P_1V_1 em \mathrm{atm\cdot L}:
P_1V_1 = 1\\ \mathrm{atm}\times 1\\ \mathrm{L} = 1\\ \mathrm{atm\cdot L}, \qquad P_2V_2 = 3\\ \mathrm{atm}\times 3\\ \mathrm{L} = 9\\ \mathrm{atm\cdot L}.
Logo
P_2V_2 - P_1V_1 = 8\\ \mathrm{atm\cdot L}.
  • Então
\Delta U = \frac{3}{2}\times 8\\ \mathrm{atm\cdot L} = 12\\ \mathrm{atm\cdot L}.
  • Converter para joules:
\Delta U = 12\times 101{,}325\\ \mathrm{J} = 1{,}215{,}900\\ \mathrm{J}\approx 1{,}215{,}9\\ \mathrm{J}.
Interpretação: \Delta U>0 significa que a energia interna (e a temperatura) do gás aumentaram durante a expansão.

Passo 6

Cálculo do calor trocado (letra d) usando a Primeira Lei da Termodinâmica.
  • Forma da primeira lei usando trabalho sobre o sistema:
\Delta U = Q + W_{\text{on}},
onde Q é o calor fornecido ao sistema (positivo se adicionado) e W_{\text{on}} é o trabalho realizado sobre o sistema (positivo se feito sobre ele).
  • Isolar Q:
Q = \Delta U - W_{\text{on}}.
  • Substituir valores numéricos já calculados ( \Delta U \approx 1{,}215{,}9\\ \mathrm{J} e W_{\text{on}}\approx -405{,}3\\ \mathrm{J}):
Q = 1{,}215{,}9\\ \mathrm{J} - (-405{,}3\\ \mathrm{J}) = 1{,}621{,}2\\ \mathrm{J}.
  • Interpretação: Q>0 significa que aproximadamente 1{,}621{,}2\\ \mathrm{J} de calor foram adicionados ao gás durante o processo (o gás recebeu calor).

Passo 7

Resumo físico (breve e motivador).
  • O processo dado (com P proporcional a V) faz com que a pressão aumente quando o volume aumenta — por isso a reta ascendente no gráfico.
  • O gás realiza trabalho ao expandir (por isso W_{\text{on}}<0), mas ainda assim sua energia interna aumenta porque recebeu calor externo suficiente para aumentar a temperatura ( Q>0 e \Delta U>0).
  • Força final: você já tem o passo a passo que dá para reproduzir na prova — integral do trabalho, usar PV=nRT para ligar \Delta U a P V, e primeira lei para achar Q. Vai dar certo!

Resposta

(a) Gráfico: reta passando pela origem com inclinação k=1\\ \mathrm{atm}/\mathrm{L}, passando pelos pontos (1\\ \mathrm{L},1\\ \mathrm{atm}) e (3\\ \mathrm{L},3\\ \mathrm{atm}).
(b) Trabalho realizado sobre o gás: W_{\text{on}}\approx -405{,}3\\ \mathrm{J}.
(c) Variação da energia interna: \Delta U\approx 1{,}215{,}9\\ \mathrm{J}.
(d) Calor fornecido ao gás: Q\approx 1{,}621{,}2\\ \mathrm{J}.

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