Para as matrizes do Exercício 6, encontre uma base do espaço linha de A reduzindo a matriz à forma escalonada por linhas.
(e) \left.A=\left[\begin{array}{rrrrr}1 & -3 & 2 & 2 & 1 \\\\ 0 & 3 & 6 & 0 & -3 \\\\ 2 & -3 & -2 & 4 & 4 \\\\ 3 & -6 & 0 & 6 & 5 \\\\ -2 & 9 & 2 & -4 & -5\end{array}\right] \quad \right\rvert\,
Passo 1
O enunciado dá a matriz A e pede: “encontre uma base do espaço linha de A reduzindo a matriz à forma escalonada por linhas”.
Dados fornecidos (peguei direto do enunciado):
O que é pedido: uma base do espaço linha de A (isto é, um conjunto de vetores linha que formam uma base do subespaço gerado pelas linhas de A). A instrução adicional diz para obter isso reduzindo A à forma escalonada por linhas.
Passo 2
Pequena aula antes de operar (bem prática e rápida): o espaço linha de uma matriz é o espaço gerado pelas suas linhas (cada linha é um vetor em \mathbb{R}^5 aqui). Duas observações fundamentais que usaremos:
Operações elementares por linhas (somar múltiplos de uma linha em outra, trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo) não mudam o espaço gerado pelas linhas — ou seja, não mudam o espaço linha.
Depois de transformar a matriz em forma escalonada por linhas (row-echelon form), as linhas não nulas dessa forma escalonada são linearmente independentes e geram exatamente o espaço linha original. Portanto, elas formam uma base do espaço linha. Assim a estratégia: reduzir A por operações de linha até obter a forma escalonada, e então tomar as linhas não nulas como base.
Passo 3
Vamos rotular as linhas iniciais para acompanhar as operações:
Interpretação final (didática): temos três linhas não nulas na forma escalonada. Pelo fato citado antes, essas três linhas não nulas formam uma base do espaço linha de A. Podemos tomar exatamente essas linhas como os vetores da base. Se quisermos, podemos escalonar cada linha para simplificar (por exemplo dividir a segunda linha por 3 etc.), mas não é necessário — qualquer conjunto de linhas não nulas em forma escalonada é uma base.
As três linhas não nulas (na forma escalonada obtida) são: