Sendo A B um diâmetro da esfera, então, fazendo P, tem-se que (P-A) cdot(P-B)=0. Definindo um ponto A, B, qualquer, sobre a esfera como P, deve-se mostrar que r. Com efeito, x1^2+y1^2+z1^2=r^2. Como os pontos x0^2+y0^2+z0^2=r^2 e são pontos sobre a esfera de raio e centro na origem, então e . Portanto, .

Passo 1

Estamos lidando com geometria vetorial: temos uma esfera de centro na origem e raio r, com diâmetro AB tal que A=(x0,y0,z0) e B=(-x0,-y0,-z0). Queremos mostrar que, para todo ponto P=(x1,y1,z1) na superfície, os vetores P-A e P-B são perpendiculares, ou seja, seu produto escalar é zero. Para isso, vamos usar a definição de produto escalar e a equação da esfera.

Passo 2

Calculamos primeiro os vetores envolvidos:
P-A=(x1-x0,,y1-y0,,z1-z0) e P-B=(x1+x0,,y1+y0,,z1+z0). Lembrando que dois vetores são ortogonais se, e somente se, seu produto escalar for zero.

Passo 3

Agora aplicamos a definição de produto escalar:
(P-A)cdot(P-B) = (x1 - x0)(x1 + x0) +;(y1 - y0)(y1 + y0) +;(z1 - z0)(z1 + z0)
Fazendo a expansão de cada termo, obtemos:
(P-A)cdot(P-B) = (x1^2 - x0^2) + (y1^2 - y0^2) + (z1^2 - z0^2) = (x1^2+y1^2+z1^2) - (x0^2+y0^2+z0^2)

Passo 4

Como P e A estão sobre a esfera de raio r, vale
x1^2+y1^2+z1^2 = r^2 e x0^2+y0^2+z0^2 = r^2. Logo, a diferença é zero.

Passo 5

Portanto,
(P-A)cdot(P-B) = r^2 - r^2 = 0,
mostrando que os segmentos AP e PB são perpendiculares.

Resposta

(\mathbf{P}-\mathbf{A})\cdot(\mathbf{P}-\mathbf{B}) = 0

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