Sendo
um diâmetro da esfera, então, fazendo
, tem-se que
. Definindo um ponto
, qualquer, sobre a esfera como
, deve-se mostrar que
. Com efeito,
. Como os pontos
e
são pontos sobre a esfera de raio
e centro na origem, então
e
. Portanto,
.
Passo 1
Estamos lidando com geometria vetorial: temos uma esfera de centro na origem e raio
, com diâmetro
tal que
e
. Queremos mostrar que, para todo ponto
na superfície, os vetores
e
são perpendiculares, ou seja, seu produto escalar é zero. Para isso, vamos usar a definição de produto escalar e a equação da esfera.
Passo 2
Calculamos primeiro os vetores envolvidos:
e
. Lembrando que dois vetores são ortogonais se, e somente se, seu produto escalar for zero.
Passo 3
Agora aplicamos a definição de produto escalar:
Fazendo a expansão de cada termo, obtemos:
Passo 4
Como
e
estão sobre a esfera de raio
, vale
e
. Logo, a diferença é zero.
Passo 5
Portanto,
mostrando que os segmentos
Resposta
(\mathbf{P}-\mathbf{A})\cdot(\mathbf{P}-\mathbf{B}) = 0