Calcule integral x^2 e^x^2 d x. (Dica: combine substituição e integração por partes.)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral x^2 e^x^2,dx. O conteúdo envolve integrais de funções compostas e a técnica de integração por partes, além de reconhecer que e^x^2 não tem primitiva elementar simples.

Passo 2

Repare que x^2 e^x^2 = xcdotl(x e^x^2r) e que ddxl(e^x^2r)=2x e^x^2. Isso sugere fazer uma substituição em partes com dv=2x e^x^2dx.
Definimos
dv = 2x e^x^2,dx, v = e^x^2
e sobra um fator x, ou seja,
integral x^2 e^x^2,dx = 12integral x,dv

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula de integração por partes integral u,dv = u,v - integral v,du. Aqui escolhemos
u = x, du = dx, v = e^x^2,
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12integral x,dv = 12l(x e^x^2 - integral e^x^2,dxr)

Passo 4

Fica então
integral x^2 e^x^2,dx = 12 x e^x^2 - 12integral e^x^2,dx

Passo 5

Para terminar, lembramos que não existe primitiva elementar de e^x^2, mas definimos a função erro imaginária
erfi(x)=2raizpiintegral0^xe^t^2,dt,
o que dá
integral e^x^2,dx=raizpi2,erfi(x)+C

Passo 6

Substituindo de volta, obtemos a resposta final abaixo.

Resposta

integral x^2 e^x^2,dx = 12 x e^x^2 - raizpi4,erfi(x) + C.

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