Dado o potencial eletrostático
, calcule:
(a) O campo elétrico
;
(b) A densidade volumétrica de carga
que deu origem a este potencial.
(a) O campo elétrico
(b) A densidade volumétrica de carga
Passo 1
O enunciado dá o potencial eletrostático
e pede duas coisas:
(a) o campo elétrico ;
(b) a densidade volumétrica de carga que gerou esse potencial.
(a) o campo elétrico
(b) a densidade volumétrica de carga
Informações relevantes fornecidas:
- O potencial está escrito em coordenadas cilíndricas
. - Deve-se usar as relações padrão do eletromagnetismo eletrostático (gradiente, Laplaciano, e a equação de Poisson) para obter
e .
Passo 2
Lembrete e fórmula para calcular
. Em eletrostática vale a relação
Em coordenadas cilíndricas a expressão para o gradiente de um escalar
é
onde
são os versores cilíndricos. Aqui:
-
é a derivada de em relação à coordenada radial ; -
é a componente angular (note o fator ); -
é a derivada em .
Agora calculamos as derivadas parciais de
. Como
temos:
Derivada em
:
Derivada em
:
Então
Derivada em
:
Passo 3
Montando o gradiente com as derivadas obtidas:
Aplicando
obtemos o campo elétrico:
Expliquei calma e passo-a-passo como aparecem cada uma das componentes: a componente radial vem de
, a angular de
e a axial de
.
Passo 4
Agora vamos achar a densidade volumétrica de carga
. Em eletrostática a equação de Poisson relaciona o potencial à densidade de carga:
ou seja
Então precisamos calcular o Laplaciano de
em coordenadas cilíndricas. A fórmula do Laplaciano é
Calculemos cada termo separadamente usando as derivadas já obtidas.
Primeiro termo:
então
Segundo termo:
portanto
Repare que os dois primeiros termos se cancelam:
Terceiro termo (derivada segunda em
):
Assim o Laplaciano fica
Passo 5
Aplicando a equação de Poisson para obter
:
Observação importante (prática de prova): todas essas expressões foram obtidas assumindo
, pois o potencial original tem singularidade em
. Em problemas reais pode haver cargas distribuídas em superfícies ou distribuições singulares associadas a tal singularidade; a expressão acima vale ponto a ponto onde
é suave (i.e. para
).
Resposta
(a)
(b)