Dado o potencial eletrostático V(\rho, \varphi, z)=10 \rho \cos \varphi / z, calcule:
(a) O campo elétrico \vec{E};
(b) A densidade volumétrica de carga \rho_{V} que deu origem a este potencial.

Passo 1

O enunciado dá o potencial eletrostático
V(\rho,\varphi,z)=10\,\frac{\rho\cos\varphi}{z}
e pede duas coisas:
(a) o campo elétrico \vec{E};
(b) a densidade volumétrica de carga \rho_{V} que gerou esse potencial.
Informações relevantes fornecidas:
  • O potencial está escrito em coordenadas cilíndricas (\rho,\varphi,z).
  • Deve-se usar as relações padrão do eletromagnetismo eletrostático (gradiente, Laplaciano, e a equação de Poisson) para obter \vec{E} e \rho_{V}.

Passo 2

Lembrete e fórmula para calcular \vec{E}. Em eletrostática vale a relação
\vec{E}=-\nabla V.
Em coordenadas cilíndricas a expressão para o gradiente de um escalar V(\rho,\varphi,z) é
\nabla V=\hat{\rho}\,\frac{\partial V}{\partial \rho}+\hat{\varphi}\,\frac{1}{\rho}\frac{\partial V}{\partial \varphi}+\hat{z}\,\frac{\partial V}{\partial z},
onde \hat{\rho},\hat{\varphi},\hat{z} são os versores cilíndricos. Aqui:
  • \frac{\partial V}{\partial \rho} é a derivada de V em relação à coordenada radial \rho;
  • \frac{1}{\rho}\frac{\partial V}{\partial \varphi} é a componente angular (note o fator 1/\rho);
  • \frac{\partial V}{\partial z} é a derivada em z.
Agora calculamos as derivadas parciais de V. Como
V(\rho,\varphi,z)=10\,\rho\cos\varphi\;z^{-1},
temos:
Derivada em \rho:
\frac{\partial V}{\partial \rho}=10\frac{\cos\varphi}{z}.
Derivada em \varphi:
\frac{\partial V}{\partial \varphi}=10\,\rho\cdot\frac{d}{d\varphi}(\cos\varphi)\cdot z^{-1}=10\,\rho\cdot(-\sin\varphi)\cdot\frac{1}{z}=-10\frac{\rho\sin\varphi}{z}.
Então
\frac{1}{\rho}\frac{\partial V}{\partial \varphi}=-10\frac{\sin\varphi}{z}.
Derivada em z:
\frac{\partial V}{\partial z}=10\,\rho\cos\varphi\cdot\frac{d}{dz}\left(z^{-1}\right)=10\,\rho\cos\varphi\cdot(-1)z^{-2}=-10\frac{\rho\cos\varphi}{z^{2}}.

Passo 3

Montando o gradiente com as derivadas obtidas:
\nabla V=\hat{\rho}\,10\frac{\cos\varphi}{z}+\hat{\varphi}\left(-10\frac{\sin\varphi}{z}\right)+\hat{z}\left(-10\frac{\rho\cos\varphi}{z^{2}}\right).
Aplicando \vec{E}=-\nabla V obtemos o campo elétrico:
\vec{E}=-10\frac{\cos\varphi}{z}\,\hat{\rho}+10\frac{\sin\varphi}{z}\,\hat{\varphi}+10\frac{\rho\cos\varphi}{z^{2}}\,\hat{z}.
Expliquei calma e passo-a-passo como aparecem cada uma das componentes: a componente radial vem de -\partial V/\partial\rho, a angular de -\tfrac{1}{\rho}\partial V/\partial\varphi e a axial de -\partial V/\partial z.

Passo 4

Agora vamos achar a densidade volumétrica de carga \rho_{V}. Em eletrostática a equação de Poisson relaciona o potencial à densidade de carga:
\nabla^{2}V=-\frac{\rho_{V}}{\epsilon_{0}},
ou seja
\rho_{V}=-\epsilon_{0}\nabla^{2}V.
Então precisamos calcular o Laplaciano de V em coordenadas cilíndricas. A fórmula do Laplaciano é
\nabla^{2}V=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\!\left(\rho\frac{\partial V}{\partial \rho}\right)+\frac{1}{\rho^{2}}\frac{\partial^{2}V}{\partial\varphi^{2}}+\frac{\partial^{2}V}{\partial z^{2}}.
Calculemos cada termo separadamente usando as derivadas já obtidas.
Primeiro termo:
\frac{\partial V}{\partial \rho}=10\frac{\cos\varphi}{z}\quad\Rightarrow\quad \rho\frac{\partial V}{\partial \rho}=10\frac{\rho\cos\varphi}{z},
\frac{\partial}{\partial\rho}\!\left(\rho\frac{\partial V}{\partial \rho}\right)=10\frac{\cos\varphi}{z},
então
\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\!\left(\rho\frac{\partial V}{\partial \rho}\right)=10\frac{\cos\varphi}{\rho z}.
Segundo termo:
\frac{\partial V}{\partial\varphi}=-10\frac{\rho\sin\varphi}{z}\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial^{2}V}{\partial\varphi^{2}}=-10\frac{\rho\cos\varphi}{z},
portanto
\frac{1}{\rho^{2}}\frac{\partial^{2}V}{\partial\varphi^{2}}=-10\frac{\cos\varphi}{\rho z}.
Repare que os dois primeiros termos se cancelam:
10\frac{\cos\varphi}{\rho z}+(-10)\frac{\cos\varphi}{\rho z}=0.
Terceiro termo (derivada segunda em z):
\frac{\partial V}{\partial z}=-10\frac{\rho\cos\varphi}{z^{2}}\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial^{2}V}{\partial z^{2}}=20\frac{\rho\cos\varphi}{z^{3}}.
Assim o Laplaciano fica
\nabla^{2}V=20\frac{\rho\cos\varphi}{z^{3}}.

Passo 5

Aplicando a equação de Poisson para obter \rho_{V}:
\rho_{V}=-\epsilon_{0}\nabla^{2}V=-\epsilon_{0}\,20\frac{\rho\cos\varphi}{z^{3}}=-20\epsilon_{0}\frac{\rho\cos\varphi}{z^{3}}.
Observação importante (prática de prova): todas essas expressões foram obtidas assumindo z\neq 0, pois o potencial original tem singularidade em z=0. Em problemas reais pode haver cargas distribuídas em superfícies ou distribuições singulares associadas a tal singularidade; a expressão acima vale ponto a ponto onde V é suave (i.e. para z\neq 0).

Resposta

(a) \displaystyle \vec{E}=-10\frac{\cos\varphi}{z}\,\hat{\rho}+10\frac{\sin\varphi}{z}\,\hat{\varphi}+10\frac{\rho\cos\varphi}{z^{2}}\,\hat{z}
(b) \displaystyle \rho_{V}=-20\epsilon_{0}\frac{\rho\cos\varphi}{z^{3}}

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