Dado um prisma cuja base é um hexágono regular de lado 5 cm , qual é o volume deste prisma se a altura for 5 cm ?
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar o volume do prisma cujo base é um hexágono regular de lado
e altura
.
Informações dadas:
onde
é o comprimento do lado do hexágono (lado do hexágono regular), e
onde
é a altura do prisma.
O que precisamos achar: o volume
do prisma, em
.
Passo 2
Ideia geral (sem calcular ainda): o volume de um prisma é dado pela área da base multiplicada pela altura. Vou mostrar isso e, em seguida, calcular a área da base (hexágono regular) passo a passo.
Fórmula geral do volume de um prisma:
onde
é a área da figura que forma a base e
é a altura do prisma. Aqui
será a área do hexágono regular de lado
.
Passo 3
Como calcular a área de um hexágono regular: um hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros congruentes, cada um de lado
. Então
Vou calcular a área de um desses triângulos equiláteros.
Área de um triângulo equilátero de lado
: use a fórmula que vem de altura e base. A altura
de um triângulo equilátero de lado
é obtida por Pitágoras em um triângulo retângulo formado ao dividir a base ao meio:
A área do triângulo é a metade da base vezes a altura, logo
Explicando as letras:
é o lado do triângulo (o mesmo do hexágono) e
é a altura do triângulo.
Passo 4
Agora calcule
com
:
Passo 5
Área do hexágono (6 desses triângulos):
Simplificando a fração:
(Usei
.)
Passo 6
Agora aplico a fórmula do volume do prisma,
, com
e
:
Também posso escrever em forma fracionária:
Passo 7
Se quiser uma aproximação numérica, use
. Assim
Arredondei para duas casas decimais para ficar apresentável na prova.