Dado um prisma cuja base é um hexágono regular de lado 5 cm , qual é o volume deste prisma se a altura for 5 cm ?

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o volume do prisma cujo base é um hexágono regular de lado 5\\ \text{cm} e altura 5\\ \text{cm}.
Informações dadas:
a = 5\\ \text{cm}
onde a é o comprimento do lado do hexágono (lado do hexágono regular), e
h = 5\\ \text{cm}
onde h é a altura do prisma.
O que precisamos achar: o volume V do prisma, em \text{cm}^3.

Passo 2

Ideia geral (sem calcular ainda): o volume de um prisma é dado pela área da base multiplicada pela altura. Vou mostrar isso e, em seguida, calcular a área da base (hexágono regular) passo a passo.
Fórmula geral do volume de um prisma:
V = A_{\text{base}} \cdot h
onde A_{\text{base}} é a área da figura que forma a base e h é a altura do prisma. Aqui A_{\text{base}} será a área do hexágono regular de lado a.

Passo 3

Como calcular a área de um hexágono regular: um hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros congruentes, cada um de lado a. Então
A_{\text{hex}} = 6 \cdot A_{\triangle\\ \text{equilátero}}.á
Vou calcular a área de um desses triângulos equiláteros.
Área de um triângulo equilátero de lado a: use a fórmula que vem de altura e base. A altura t de um triângulo equilátero de lado a é obtida por Pitágoras em um triângulo retângulo formado ao dividir a base ao meio:
t = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = a\frac{\sqrt{3}}{2}.
A área do triângulo é a metade da base vezes a altura, logo
A_{\triangle} = \frac{1}{2}\cdot a \cdot t = \frac{1}{2}\cdot a \cdot \left(a\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{4}\,a^2.
Explicando as letras: a é o lado do triângulo (o mesmo do hexágono) e t é a altura do triângulo.

Passo 4

Agora calcule A_{\triangle} com a=5\\ \text{cm}:
A_{\triangle} = \frac{\sqrt{3}}{4}\,a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 5^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 25 = \frac{25\sqrt{3}}{4}\\ \text{cm}^2.

Passo 5

Área do hexágono (6 desses triângulos):
A_{\text{hex}} = 6\cdot A_{\triangle} = 6\cdot \frac{25\sqrt{3}}{4} = \frac{150\sqrt{3}}{4}\\ \text{cm}^2.
Simplificando a fração:
\frac{150\sqrt{3}}{4} = \frac{75\sqrt{3}}{2} = 37,5\sqrt{3}\\ \text{cm}^2.
(Usei 150/4 = 75/2 = 37{,}5.)

Passo 6

Agora aplico a fórmula do volume do prisma, V = A_{\text{base}}\cdot h, com A_{\text{base}} = 37,5\sqrt{3}\\ \text{cm}^2 e h=5\\ \text{cm}:
V = 37,5\sqrt{3}\cdot 5 = 187,5\sqrt{3}\\ \text{cm}^3.
Também posso escrever em forma fracionária:
V = \frac{375\sqrt{3}}{2}\\ \text{cm}^3.

Passo 7

Se quiser uma aproximação numérica, use \sqrt{3}\approx 1{,}73205. Assim
V \approx 187,5 \times 1{,}73205 \approx 324{,}76\\ \text{cm}^3.
Arredondei para duas casas decimais para ficar apresentável na prova.

Resposta

\displaystyle V=\frac{375\sqrt{3}}{2}\\ \text{cm}^3
\displaystyle V\approx 324{,}76\\ \text{cm}^3

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