Um peso de
é atado a uma mola de
de comprimento. Na posição de equilíbrio, o comprimento da mola é de
. Se o peso for suspenso e solto a partir do repouso de um ponto 2 m acima da posição de equilíbrio, encontre o deslocamento
se é sabido ainda que o meio ambiente oferece resistência numericamente igual a velocidade instantânea.
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma coisa só:
- Massa:
. - Comprimento natural da mola:
. - Comprimento da mola com o peso em equilíbrio:
. - O peso é solto do repouso a
acima da posição de equilíbrio. - A resistência do meio é proporcional à velocidade, “numericamente igual à velocidade instantânea” — vou interpretar isto como coeficiente de amortecimento
(unidade ), ou seja, força resistiva . - Pergunta: encontrar o deslocamento
em função do tempo, onde é o deslocamento em relação à posição de equilíbrio.
Nenhuma outra informação será solicitada. A partir daqui vamos montar a equação do movimento e resolver com as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro precisamos obter a constante elástica da mola
. Usamos o equilíbrio estático: o peso
é balanceado pela força elástica
, onde
é a extensão estática da mola.
A extensão estática é
Aplicando
temos
Substituindo
e
,
Passo 3
Agora montamos a equação do movimento. Escolhemos
como deslocamento a partir da posição de equilíbrio (positivo para baixo, por exemplo). Importante: escolhendo a origem na posição de equilíbrio, o peso
e a força elástica estática já se anulam — sobra apenas a variação elástica linear proporcional a
. Somando as forças (sinal negativo para forças que tendem a restaurar):
- Força elástica variável:
. - Força de resistência do meio:
(opõe-se ao sentido da velocidade). - Soma das forças =
.
Logo a equação diferencial é
Substituindo
,
,
obtemos
Passo 4
Dividimos toda a equação por
para simplificar:
Isto é uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A técnica padrão é procurar soluções do tipo
, o que leva à equação característica.
A equação característica é
Passo 5
Resolvendo a quadrática:
São raízes complexas conjugadas
. Para raízes
a solução geral é
Aqui
e
, portanto a solução geral é
Física: esse é um movimento oscilatório amortecido (oscilação com amplitude exponencialmente decrescente por
).
Passo 6
Aplicamos as condições iniciais. O peso foi solto de um ponto
acima da posição de equilíbrio e do repouso. Como definimos
positivo para baixo, um ponto
acima corresponde a
E “solto do repouso” significa
Da solução geral, em
:
Calculamos
. Diferenciando
usando a regra do produto e as derivadas de seno/cosseno:
Agrupando termos:
Em
isso dá
Impondo
e lembrando que
, obtemos
Passo 7
Substituindo
e
na solução geral, obtemos a solução particular final:
Podemos, se quiser, fatorar
:
mas ambas as formas representam a mesma solução. Esta é a função deslocamento em relação à posição de equilíbrio, com
e velocidade inicial zero; o sinal negativo indica que inicialmente o corpo está
acima (no sentido oposto ao positivo).