Um peso de 0,5 \mathrm{~kg} é atado a uma mola de 1,5 \mathrm{~m} de comprimento. Na posição de equilíbrio, o comprimento da mola é de 2,48 \mathrm{~m}. Se o peso for suspenso e solto a partir do repouso de um ponto 2 m acima da posição de equilíbrio, encontre o deslocamento x(t) se é sabido ainda que o meio ambiente oferece resistência numericamente igual a velocidade instantânea.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma coisa só:
  • Massa: m=0,5\\ \mathrm{kg}.
  • Comprimento natural da mola: 1,5\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento da mola com o peso em equilíbrio: 2,48\\ \mathrm{m}.
  • O peso é solto do repouso a 2\\ \mathrm{m} acima da posição de equilíbrio.
  • A resistência do meio é proporcional à velocidade, “numericamente igual à velocidade instantânea” — vou interpretar isto como coeficiente de amortecimento c=1 (unidade \mathrm{N\cdot s/m}), ou seja, força resistiva = -c\,\dot x = -1\cdot \dot x.
  • Pergunta: encontrar o deslocamento x(t) em função do tempo, onde x(t) é o deslocamento em relação à posição de equilíbrio.
Nenhuma outra informação será solicitada. A partir daqui vamos montar a equação do movimento e resolver com as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro precisamos obter a constante elástica da mola k. Usamos o equilíbrio estático: o peso (mg) é balanceado pela força elástica k\Delta L, onde \Delta L é a extensão estática da mola.
A extensão estática é
\Delta L = 2,48-1,5 = 0,98\\ \mathrm{m}.
Aplicando mg = k\Delta L temos
k = \frac{mg}{\Delta L}.
Substituindo m=0,5\\ \mathrm{kg} e g=9,8\\ \mathrm{m/s^2},
k = \frac{0,5\cdot 9,8}{0,98} = \frac{4,9}{0,98} = 5{,}0\\ \mathrm{N/m}.

Passo 3

Agora montamos a equação do movimento. Escolhemos x(t) como deslocamento a partir da posição de equilíbrio (positivo para baixo, por exemplo). Importante: escolhendo a origem na posição de equilíbrio, o peso mg e a força elástica estática já se anulam — sobra apenas a variação elástica linear proporcional a x. Somando as forças (sinal negativo para forças que tendem a restaurar):
  • Força elástica variável: -k x.
  • Força de resistência do meio: -c \dot x (opõe-se ao sentido da velocidade).
  • Soma das forças = m\ddot x.
Logo a equação diferencial é
m\ddot x + c\dot x + k x = 0.
Substituindo m=0,5, c=1, k=5 obtemos
0{,}5\,\ddot x + 1\cdot \dot x + 5 x = 0.

Passo 4

Dividimos toda a equação por 0{,}5 para simplificar:
\ddot x + 2\dot x + 10 x = 0.
Isto é uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A técnica padrão é procurar soluções do tipo x=e^{rt}, o que leva à equação característica.
A equação característica é
r^2 + 2r + 10 = 0.

Passo 5

Resolvendo a quadrática:
r = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4\cdot 1\cdot 10}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4-40}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-36}}{2} = -1 \pm 3i.
São raízes complexas conjugadas -1\pm 3i. Para raízes \alpha \pm \beta i a solução geral é
x(t) = e^{\alpha t}\bigl(A\cos(\beta t) + B\sin(\beta t)\bigr).
Aqui \alpha=-1 e \beta=3, portanto a solução geral é
x(t) = e^{-t}\bigl(A\cos(3t) + B\sin(3t)\bigr).
Física: esse é um movimento oscilatório amortecido (oscilação com amplitude exponencialmente decrescente por e^{-t}).

Passo 6

Aplicamos as condições iniciais. O peso foi solto de um ponto 2\\ \mathrm{m} acima da posição de equilíbrio e do repouso. Como definimos x positivo para baixo, um ponto 2\\ \mathrm{m} acima corresponde a
x(0) = -2.
E “solto do repouso” significa
\dot x(0) = 0.
Da solução geral, em t=0:
x(0) = A = -2.
Calculamos \dot x(t). Diferenciando
x(t) = e^{-t}(A\cos3t + B\sin3t)
usando a regra do produto e as derivadas de seno/cosseno:
\dot x(t) = e^{-t}\bigl(-A\cos3t - B\sin3t\bigr) + e^{-t}\bigl(-3A\sin3t + 3B\cos3t\bigr).
Agrupando termos:
\dot x(t) = e^{-t}\Bigl[(-A+3B)\cos3t + (-B-3A)\sin3t\Bigr].
Em t=0 isso dá
\dot x(0) = -A + 3B.
Impondo \dot x(0)=0 e lembrando que A=-2, obtemos
0 = -(-2) + 3B = 2 + 3B \quad\Rightarrow\quad 3B = -2 \quad\Rightarrow\quad B = -\frac{2}{3}.

Passo 7

Substituindo A=-2 e B=-\tfrac{2}{3} na solução geral, obtemos a solução particular final:
x(t) = e^{-t}\!\left(-2\cos 3t - \tfrac{2}{3}\sin 3t\right).
Podemos, se quiser, fatorar -2:
x(t) = -2e^{-t}\!\left(\cos 3t + \tfrac{1}{3}\sin 3t\right),
mas ambas as formas representam a mesma solução. Esta é a função deslocamento em relação à posição de equilíbrio, com x(0)=-2 e velocidade inicial zero; o sinal negativo indica que inicialmente o corpo está 2\\ \mathrm{m} acima (no sentido oposto ao positivo).

Resposta

x(t)=e^{-t}\!\left(-2\cos 3t-\tfrac{2}{3}\sin 3t\right)

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