Dado um segmento com comprimento fixo de 3 cm , determine as áreas dos seguintes polígonos regulares obtidos a partir de tal segmento:
Pentágono
Pentágono
Passo 1
O enunciado dá um segmento de comprimento
e pede a área do polígono regular que se obtém quando esse segmento é usado como lado do pentágono regular.
Dados relevantes:
Dados relevantes:
Pergunta: calcular a área do pentágono regular de lado
.
Passo 2
Ideia geométrica (sem fórmulas prontas): um pentágono regular pode ser dividido em
triângulos isósceles congruentes, cada um com base igual ao lado do pentágono e altura igual ao apótema do pentágono. Se chamarmos o apótema de
e o perímetro de
, a área
do pentágono é a soma das áreas desses
triângulos, ou seja:
Aqui
e, para um pentágono,
, então
. Vou explicar como achar o apótema
a seguir.
Passo 3
Determinando o apótema por trigonometria: cada um dos
triângulos isósceles tem ângulo central
. Se dividirmos um desses triângulos ao meio obtemos um triângulo retângulo com cateto oposto
, cateto adjacente igual ao apótema
e ângulo agudo
(ou
). Pela definição de tangente no triângulo retângulo:
Isolando
:
Expliquei: tangente é razão entre cateto oposto e cateto adjacente; aqui o oposto é
e o adjacente é
.
Passo 4
Substituindo
em
com
:
Para
temos
Passo 5
Agora precisamos avaliar
. Há uma identidade exata conhecida para
e daí conseguimos
. Valores úteis:
Calculamos
e
e depois
:
Logo
(Aqui multiplicamos numerador e denominador por
para simplificar.) Como
no primeiro quadrante,
Passo 6
Substituindo esse valor de
em
obtemos a forma com radicais:
Podemos simplificar essa expressão para obter uma forma mais usual. Observe que
Assim
Aplicando isso:
Como
, obtemos a forma fechada clássica
Essa é uma expressão exata em termos de radicais.
Passo 7
Cálculo numérico para apresentar a área em centímetros quadrados (aproximação):
Arredondando, a área do pentágono regular de lado
é aproximadamente
.