Dado um segmento com comprimento fixo de 3 cm , determine as áreas dos seguintes polígonos regulares obtidos a partir de tal segmento:
Pentágono

Passo 1

O enunciado dá um segmento de comprimento \,3\\ \text{cm} e pede a área do polígono regular que se obtém quando esse segmento é usado como lado do pentágono regular.
Dados relevantes:
s = 3\\ \text{cm}
Pergunta: calcular a área do pentágono regular de lado \,s.

Passo 2

Ideia geométrica (sem fórmulas prontas): um pentágono regular pode ser dividido em 5 triângulos isósceles congruentes, cada um com base igual ao lado do pentágono e altura igual ao apótema do pentágono. Se chamarmos o apótema de a_p e o perímetro de P, a área A do pentágono é a soma das áreas desses 5 triângulos, ou seja:
A = \frac{P\cdot a_p}{2}.
Aqui P = n s e, para um pentágono, n=5, então P = 5s. Vou explicar como achar o apótema a_p a seguir.

Passo 3

Determinando o apótema por trigonometria: cada um dos 5 triângulos isósceles tem ângulo central \dfrac{2\pi}{5}. Se dividirmos um desses triângulos ao meio obtemos um triângulo retângulo com cateto oposto \dfrac{s}{2}, cateto adjacente igual ao apótema a_p e ângulo agudo \dfrac{\pi}{5} (ou 36^\circ). Pela definição de tangente no triângulo retângulo:
\tan\!\left(\frac{\pi}{5}\right) \;=\; \frac{\frac{s}{2}}{a_p}.
Isolando a_p:
a_p \;=\; \frac{s}{2\,\tan\!\left(\frac{\pi}{5}\right)}.
Expliquei: tangente é razão entre cateto oposto e cateto adjacente; aqui o oposto é s/2 e o adjacente é a_p.

Passo 4

Substituindo a_p em A=\dfrac{P\cdot a_p}{2} com P=5s:
A \;=\; \frac{5s\cdot\displaystyle\frac{s}{2\tan(\pi/5)}}{2} \;=\; \frac{5s^2}{4\tan(\pi/5)}.
Para s=3 temos
A \;=\; \frac{5\cdot 3^2}{4\tan\!\left(\frac{\pi}{5}\right)} \;=\; \frac{45}{4\tan\!\left(\frac{\pi}{5}\right)}.

Passo 5

Agora precisamos avaliar \tan\!\left(\dfrac{\pi}{5}\right). Há uma identidade exata conhecida para \cos\!\left(\dfrac{\pi}{5}\right) e daí conseguimos \tan\!\left(\dfrac{\pi}{5}\right). Valores úteis:
\cos\!\left(\frac{\pi}{5}\right)=\cos 36^\circ = \frac{1+\sqrt{5}}{4}.
Calculamos \sin^2 e \cos^2 e depois \tan^2:
\cos^2\!\left(\frac{\pi}{5}\right)=\frac{3+\sqrt{5}}{8},\qquad \sin^2\!\left(\frac{\pi}{5}\right)=1-\cos^2\!\left(\frac{\pi}{5}\right)=\frac{5-\sqrt{5}}{8}.
Logo
\tan^2\!\left(\frac{\pi}{5}\right) =\frac{\sin^2(\pi/5)}{\cos^2(\pi/5)} =\frac{5-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}} =5-2\sqrt{5}.
(Aqui multiplicamos numerador e denominador por 3-\sqrt{5} para simplificar.) Como \tan(\pi/5)>0 no primeiro quadrante,
\tan\!\left(\frac{\pi}{5}\right)=\sqrt{\,5-2\sqrt{5}\,}.

Passo 6

Substituindo esse valor de \tan(\pi/5) em A=\dfrac{45}{4\tan(\pi/5)} obtemos a forma com radicais:
A = \frac{45}{4\sqrt{\,5-2\sqrt{5}\,}}.
Podemos simplificar essa expressão para obter uma forma mais usual. Observe que
\sqrt{\,5-2\sqrt{5}\,}\cdot\sqrt{\,5+2\sqrt{5}\,}=\sqrt{(5-2\sqrt{5})(5+2\sqrt{5})}=\sqrt{25-20}=\sqrt{5}.
Assim
\frac{1}{\sqrt{\,5-2\sqrt{5}\,}}=\frac{\sqrt{\,5+2\sqrt{5}\,}}{\sqrt{5}}.
Aplicando isso:
A=\frac{45}{4}\cdot\frac{\sqrt{\,5+2\sqrt{5}\,}}{\sqrt{5}} =\frac{45}{4\sqrt{5}}\sqrt{\,5+2\sqrt{5}\,}.
Como \dfrac{45}{\sqrt{5}}=9\sqrt{5}, obtemos a forma fechada clássica
A=\frac{9}{4}\sqrt{\,25+10\sqrt{5}\,}.
Essa é uma expressão exata em termos de radicais.

Passo 7

Cálculo numérico para apresentar a área em centímetros quadrados (aproximação):
\sqrt{5}\approx 2{,}2360679775\quad\Rightarrow\quad 25+10\sqrt{5}\approx 47{,}360679775,
\sqrt{25+10\sqrt{5}}\approx 6{,}881921, \quad\text{logo}\quad A \approx \frac{9}{4}\cdot 6{,}881921 \approx 15{,}484\\ \text{cm}^2.
Arredondando, a área do pentágono regular de lado \,3\\ \text{cm} é aproximadamente \,15{,}484\\ \text{cm}^2.

Resposta

\displaystyle A=\frac{9}{4}\sqrt{25+10\sqrt{5}}\\ \text{cm}^2\approx 15{,}484\\ \text{cm}^2

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