Determine os zeros das funções f e g:
g(x)=x^{3}-x^{2}-4 x+4

Passo 1

O enunciado pede para determinar os zeros das funções f e g. As informações fornecidas são:
  • A função g é g(x)=x^{3}-x^{2}-4x+4.
  • Não foi fornecida nenhuma expressão ou informação sobre f.
Portanto as perguntas que preciso responder são:
  1. Quais são os zeros de f? (nota: não há dados de f no enunciado)
  2. Quais são os zeros de g, com g(x)=x^{3}-x^{2}-4x+4?

Passo 2

Vou começar explicando uma estratégia prática para achar zeros de polinômios com coeficientes inteiros: o Teorema das Raízes Racionais (versão prática). Ele diz que, se um polinômio com coeficientes inteiros tem uma raiz racional p/q em forma irreduzível, então p divide o termo independente e q divide o coeficiente líder. No nosso caso o coeficiente líder é 1 e o termo independente é 4. Logo todas as possíveis raízes racionais inteiras são os divisores de 4, isto é:
\pm 1,\\ \pm 2,\\ \pm 4.
Isso nos dá candidatos fáceis para testar na função g.

Passo 3

Vamos testar os candidatos começando por x=1. Substituir x=1 em g(x):
g(1)=1^{3}-1^{2}-4\cdot 1+4=1-1-4+4=0.
Como g(1)=0, concluímos que x=1 é uma raiz de g. Portanto (x-1) é um fator de g(x).

Passo 4

Agora vamos dividir o polinômio g(x) por (x-1) para reduzir o grau e encontrar as outras raízes. Uso divisão sintética (mais rápida para polinômios com coeficiente líder 1). Coeficientes de g: 1,\\\ -1,\\\ -4,\\\ 4. Fazer a divisão por x-1 (valor 1):
Trazer o 1 (coeficiente do x^3):
  • 1 (trazido)
  • Multiplica por 1 1. Soma com -1 0.
  • Multiplica 0 por 1 0. Soma com -4 -4.
  • Multiplica -4 por 1 -4. Soma com 4 0 (resto).
O quociente tem coeficientes 1,\\\ 0,\\\ -4, ou seja o quociente é
x^{2}+0\cdot x-4 = x^{2}-4.
Portanto fizemos a fatoração
g(x)=(x-1)(x^{2}-4).

Passo 5

Agora resolvemos o fator quadrático x^{2}-4=0. Esse é um caso padrão: diferença de quadrados. Lembrando que
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Assim as soluções de x^{2}-4=0 são x=2 e x=-2.

Passo 6

Juntando tudo, as raízes de g são as raízes vindas de cada fator:
(x-1)(x-2)(x+2)=0
portanto x=1,\\ x=2,\\ x=-2.
Fazendo uma verificação rápida (checar um valor):
g(2)=2^{3}-2^{2}-4\cdot 2+4=8-4-8+4=0,
g(-2)=(-2)^{3}-(-2)^{2}-4(-2)+4=-8-4+8+4=0.
Tudo confere.
Dica prática para a prova: primeiro teste os divisores do termo independente; se achar uma raiz inteira, divida (por divisão sintética) e resolva o polinômio de grau menor — muitas vezes o restante reduz a um quadrado ou fator simples que você resolve sem calculadora.

Resposta

Zeros de f: impossível determinar — f não foi fornecida.
Zeros de g: x=-2,\\\ 1,\\\ 2.

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