Determine os zeros das funções f e g:
Passo 1
O enunciado pede para determinar os zeros das funções
e
. As informações fornecidas são:
- A função
é . - Não foi fornecida nenhuma expressão ou informação sobre
.
Portanto as perguntas que preciso responder são:
- Quais são os zeros de
? (nota: não há dados de no enunciado) - Quais são os zeros de
, com ?
Passo 2
Vou começar explicando uma estratégia prática para achar zeros de polinômios com coeficientes inteiros: o Teorema das Raízes Racionais (versão prática). Ele diz que, se um polinômio com coeficientes inteiros tem uma raiz racional
em forma irreduzível, então
divide o termo independente e
divide o coeficiente líder. No nosso caso o coeficiente líder é
e o termo independente é
. Logo todas as possíveis raízes racionais inteiras são os divisores de
, isto é:
Isso nos dá candidatos fáceis para testar na função
.
Passo 3
Vamos testar os candidatos começando por
. Substituir
em
:
Como
, concluímos que
é uma raiz de
. Portanto
é um fator de
.
Passo 4
Agora vamos dividir o polinômio
por
para reduzir o grau e encontrar as outras raízes. Uso divisão sintética (mais rápida para polinômios com coeficiente líder
). Coeficientes de
:
. Fazer a divisão por
(valor
):
Trazer o
(coeficiente do
):
- 1 (trazido)
- Multiplica por
→ . Soma com → . - Multiplica
por → . Soma com → . - Multiplica
por → . Soma com → (resto).
O quociente tem coeficientes
, ou seja o quociente é
Portanto fizemos a fatoração
Passo 5
Agora resolvemos o fator quadrático
. Esse é um caso padrão: diferença de quadrados. Lembrando que
Assim as soluções de
são
e
.
Passo 6
Juntando tudo, as raízes de
são as raízes vindas de cada fator:
portanto
.
Fazendo uma verificação rápida (checar um valor):
Tudo confere.
Dica prática para a prova: primeiro teste os divisores do termo independente; se achar uma raiz inteira, divida (por divisão sintética) e resolva o polinômio de grau menor — muitas vezes o restante reduz a um quadrado ou fator simples que você resolve sem calculadora.
Resposta
Zeros de
: impossível determinar —
não foi fornecida.
Zeros de :
.
Zeros de