Dada a equação diferencial
y cos (x y)+3 e^3 x+(x cos (x y)+4 y) y^prime=0
Determine a solução da EDO apresentada.

Passo 1

Nessa questão temos a equação ycos(xy) + 3e^3x + (xcos(xy) + 4y)y' = 0. O conteúdo é equações diferenciais exatas e vamos precisar checar a exatidão comparando partial M/partial y com partial N/partial x, e depois achar a função potencial F(x,y).

Passo 2

Definindo M(x,y) = ycos(xy) + 3e^3x e N(x,y) = xcos(xy) + 4y, calculamos

e
,
logo a equação é exata.

Passo 3

Como é exata, existe F tal que partial Fpartial x=M. Integramos em x:
F(x,y) = integral l(ycos(xy) + 3e^3xr),dx = sin(xy) + e^3x + h(y)

Passo 4

Para achar h(y), usamos partial Fpartial y = xcos(xy) + h'(y). Igualando a N h'(y)=4y, logo h(y)=2y^2. A solução geral vem de F(x,y)=C.

Resposta

sin(xy) + e^3x + 2y^2 = C

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