A temperatura em um ponto (x, y, z) é dada por
T(x, y, z)=200 e^-x^2-y^2-e^3
onde T é medido em ^circC e x, y, z em metros.
Determine a taxa de variação da temperatura no ponto P(2,-1,2) em direção ao ponto (3,-3,3).

Passo 1

O enunciado dá a temperatura em função de
T(x,y,z)=200e^-x^2-y^2-e^3
e pede a taxa de variação em P(2,−1,2) na direção do ponto Q(3,−3,3). Isso é um problema de derivada direcional, onde precisamos do gradiente nabla T em P e do vetor unitário na direção de PQ.

Passo 2

Para achar o gradiente, lembramos que
nabla T=(Tx,,Ty,,Tz)
Como T(x,y,z)=200e^-x^2-y^2-e^3, temos:
$$
T_x=200e{-x2-y2-e3}(-2x),
T_y=200e{-x2-y2-e3}(-2y),
T_z=0
$$

Passo 3

Agora avaliamos em P(2,−1,2). O expoente vira -2^2-(-1)^2-e^3=-4-1-e^3=-5-e^3. Logo:
nabla T(2,-1,2)=(-2cdot2cdot200e^-5-e^3,,-2cdot(-1)cdot200e^-5-e^3,,0) =(-800e^-5-e^3,400e^-5-e^3,0)

Passo 4

O vetor direção de P a Q é
vec v=Q-P=(3-2,,-3-(-1),,3-2)=(1,-2,1)
Seu comprimento é |vec v|=raiz1^2+(-2)^2+1^2=raiz6, então o vetor unitário é
u=1raiz6(1,-2,1)

Passo 5

A derivada direcional em P na direção de u é o produto escalar
D uT(P)=nabla T(P)cdot u =l(-800e^-5-e^3,400e^-5-e^3,0r)cdot1raiz6(1,-2,1) =-1600raiz6e^-5-e^3

Resposta

-\frac{1600}{\sqrt6}e{-5-e3},^\circ C/\mathrm{m}

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