Dado o problema de valor inicial:
Encontre a sua solução e determine
:
Passo 1
Vamos entender o que a gente tem aqui: temos uma equação diferencial de segunda ordem que envolve derivadas de uma função $ f(x) $. O objetivo é encontrar a função $ f(x) $ que satisfaz a equação dada e, depois, calcular $ f(2) $. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração e aplicar as condições iniciais fornecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a equação diferencial para encontrar a primeira derivada $ f’(x) $. A equação é:
Integrando $ f’’(x) $ em relação a $ x $:
Lembrando que a integral de $ x^n $ é $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $, temos:
Então, a primeira derivada é:
Passo 3
Agora, vamos usar a condição inicial $ f’(1) = 4 $ para encontrar a constante $ C $:
Com isso, a primeira derivada fica:
Passo 4
Vamos integrar novamente para encontrar a função $ f(x) $:
Integrando termo a termo:
Onde $ D $ é a constante de integração.
Passo 5
Agora usamos a condição inicial $ f(0) = 2 $ para encontrar $ D $:
Portanto, a função é:
Resposta
Para encontrar $ f(2) $, substituímos $ x = 2 $ na função encontrada:
Calculando $ 2^{5/3} $:
Então:
Portanto, $ f(2) \approx 9.7 $.