Dado o problema de valor inicial:
f^prime prime(x)=2 x^-1 / 3, f^prime(1)=4, e f(0)=2
Encontre a sua solução e determine f(2) :

Passo 1

Vamos entender o que a gente tem aqui: temos uma equação diferencial de segunda ordem que envolve derivadas de uma função $ f(x) $. O objetivo é encontrar a função $ f(x) $ que satisfaz a equação dada e, depois, calcular $ f(2) $. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração e aplicar as condições iniciais fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a equação diferencial para encontrar a primeira derivada $ f’(x) $. A equação é:
f'(x)
Integrando $ f’’(x) $ em relação a $ x $:
f''(x) = 2x^-1/3
Lembrando que a integral de $ x^n $ é $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $, temos:
f''(x)
Então, a primeira derivada é:
x

Passo 3

Agora, vamos usar a condição inicial $ f’(1) = 4 $ para encontrar a constante $ C $:
f'(1) = 4
Com isso, a primeira derivada fica:
C

Passo 4

Vamos integrar novamente para encontrar a função $ f(x) $:
f(x)
Integrando termo a termo:
f(x) = integral (3x^2/3 + 1) , dx
Onde $ D $ é a constante de integração.

Passo 5

Agora usamos a condição inicial $ f(0) = 2 $ para encontrar $ D $:
f(0) = 2
Portanto, a função é:
D

Resposta

Para encontrar $ f(2) $, substituímos $ x = 2 $ na função encontrada:
f(2)
Calculando $ 2^{5/3} $:
x = 2
Então:
f(2) = 95(2)^5/3 + 2 + 2
Portanto, $ f(2) \approx 9.7 $.

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