Dê exemplos ou contraexemplos, se existirem, para as seguintes afirmações:
Para todo
.
Para todo
Passo 1
Vamos analisar a afirmação “Para todo
”. O conteúdo aqui é inequação de segundo grau e vamos precisar usar o critério de sinal de um produto para resolver
.
Passo 2
Reescrevendo a desigualdade temos
Passo 3
Para um produto ser negativo, os fatores precisam ter sinais opostos. As raízes de
são
e
. Pelo teste de sinais, a desigualdade vale apenas quando
Passo 4
Isto mostra que
só é verdadeiro para
em
. A afirmação exige que seja válido para todo
, portanto basta um único valor fora de
para servir de contraexemplo.
Um contraexemplo simples é :
Um contraexemplo simples é
Passo 5
Logo, a frase original é falsa.
Resposta
Contraexemplo: para x=2 temos 4 não é menor que 2, logo a afirmação “para todo x\in\mathbb{R},x^2<x” é falsa.