Dê exemplos ou contraexemplos, se existirem, para as seguintes afirmações:
Para todo x in R, x^2.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação “Para todo xinR,x^2”. O conteúdo aqui é inequação de segundo grau e vamos precisar usar o critério de sinal de um produto para resolver x^2.

Passo 2

Reescrevendo a desigualdade temos
x^2
x^2 - x < 0
x(x-1)<0

Passo 3

Para um produto ser negativo, os fatores precisam ter sinais opostos. As raízes de x(x-1)=0 são x=0 e x=1. Pelo teste de sinais, a desigualdade vale apenas quando
0

Passo 4

Isto mostra que x^2 só é verdadeiro para x em (0,1). A afirmação exige que seja válido para todo xinR, portanto basta um único valor fora de (0,1) para servir de contraexemplo.
Um contraexemplo simples é x=2:
2^2 = 4 not< 2

Passo 5

Logo, a frase original é falsa.

Resposta

Contraexemplo: para x=2 temos 4 não é menor que 2, logo a afirmação “para todo x\in\mathbb{R},x^2<x” é falsa.

Exercícios relacionados