Transcreva as seguintes proposições para a forma simbólica:
Para todo
, existe
tal que se
então
.
Para todo
Passo 1
O enunciado pede para reescrever em linguagem formal (simbólica) a definição do limite de uma função, usando quantificadores (∀, ∃) e implicação. Vamos precisar entender a ordem dos quantificadores, as condições sobre ε, δ e x, e a estrutura “se … então …”.
Passo 2
Identificamos as variáveis e seus domínios: ε representa um número real positivo (ε>0), δ depende de ε e também é um real positivo (δ>0), e x varia no domínio da função (tipicamente ℝ).
O trecho “Para todo ε” vira o quantificador universal sobre ε: ∀ ε > 0.
O trecho “existe δ(ε) tal que” vira o quantificador existencial indicando que para cada ε há um δ associado: ∃ δ > 0.
O trecho “Para todo ε” vira o quantificador universal sobre ε: ∀ ε > 0.
O trecho “existe δ(ε) tal que” vira o quantificador existencial indicando que para cada ε há um δ associado: ∃ δ > 0.
Passo 3
A parte “se 0<|x−a|<δ então |f(x)−f(l)|<ε” é uma implicação lógica que deve valer para todo x no domínio. Colocamos isso sob um quantificador universal em x e usamos ⇒ para a implicação.
Passo 4
Juntando tudo na ordem correta dos quantificadores, obtemos a forma simbólica completa:
Agora escrevemos a fórmula final de forma condensada e simbólica.
Agora escrevemos a fórmula final de forma condensada e simbólica.
Resposta
[\forall \varepsilon > 0; \exists \delta > 0; \forall x \in \mathbb{R};(0 < |x - a| < \delta \implies |f(x) - f(l)| < \varepsilon).]