- Verifique que a função
é solução da equação diferencial parcial:
Passo 1
O enunciado quer que a gente mostre que a função
satisfaz a equação parcial
. O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais de primeira e segunda ordem, usando regra do produto e cadeia.
Passo 2
Primeiro calculamos as derivadas parciais de primeira ordem. Usando
, temos por regra do produto e cadeia:
$$f_y=e^{\frac{x}{y}}+ (x+y)e{\frac{x}{y}}\cdot\Bigl(-\frac{x}{y2}\Bigr)=e{\frac{x}{y}}\frac{y2 -x^2 - xy}{y^2}.
$$
Passo 3
Agora calculamos
, isto é, derivamos
em relação a
. Temos
$$f_{xy}=-\frac{x(x+3y)}{y3}e{\frac{x}{y}}.
$$
Passo 4
Em seguida obtemos
derivando
em relação a
. O resultado é
$$f_{yy}=\frac{x2(x+3y)}{y4}e^{\frac{x}{y}}.
$$
Passo 5
Por fim, substituímos na equação
:
$$x\cdot\Bigl(-\frac{x(x+3y)}{y3}e{\frac{x}{y}}\Bigr)+y\cdot\Bigl(\frac{x2(x+3y)}{y4}e^{\frac{x}{y}}\Bigr)= -\frac{x2(x+3y)}{y3}e{\frac{x}{y}}+\frac{x2(x+3y)}{y3}e{\frac{x}{y}}=0.
$$
Resposta
Substituindo, obtemos
, logo a função satisfaz a equação diferencial parcial.