1. Verifique que a função
f(x, y)=(x+y) cdot e^xy
é solução da equação diferencial parcial:
x partial^2 fpartial x partial y+y partial^2 fpartial y^2=0

Passo 1

O enunciado quer que a gente mostre que a função f(x,y)=(x+y)e^xy satisfaz a equação parcial x,fxy+y,fyy=0. O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais de primeira e segunda ordem, usando regra do produto e cadeia.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de primeira ordem. Usando f=(x+y)e^xy, temos por regra do produto e cadeia:
fx=e^xy+ (x+y)e^xycdot1y=e^xyl(1+x+yyr)=e^xyx+2yy,
$$f_y=e^{\frac{x}{y}}+ (x+y)e{\frac{x}{y}}\cdot\Bigl(-\frac{x}{y2}\Bigr)=e{\frac{x}{y}}\frac{y2 -x^2 - xy}{y^2}.
$$

Passo 3

Agora calculamos fxy, isto é, derivamos fx=e^xyx+2yy em relação a y. Temos
$$f_{xy}=-\frac{x(x+3y)}{y3}e{\frac{x}{y}}.
$$

Passo 4

Em seguida obtemos fyy derivando fy=e^xyy^2 -x^2 - xyy^2 em relação a y. O resultado é
$$f_{yy}=\frac{x2(x+3y)}{y4}e^{\frac{x}{y}}.
$$

Passo 5

Por fim, substituímos na equação x,fxy+y,fyy:
$$x\cdot\Bigl(-\frac{x(x+3y)}{y3}e{\frac{x}{y}}\Bigr)+y\cdot\Bigl(\frac{x2(x+3y)}{y4}e^{\frac{x}{y}}\Bigr)= -\frac{x2(x+3y)}{y3}e{\frac{x}{y}}+\frac{x2(x+3y)}{y3}e{\frac{x}{y}}=0.
$$

Resposta

Substituindo, obtemos x,fxy+y,fyy=0, logo a função satisfaz a equação diferencial parcial.

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