Dado o problema de valor inicial
Encontre a solução do PVI.
Passo 1
O enunciado diz que temos o problema de valor inicial (PVI)
Isso é uma equação diferencial linear de 1ª ordem. Para resolver, vamos reescrever na forma padrão e usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro passo de fato: dividir toda a equação por
(assumindo
) para ficar na forma
Em EDOs lineares de 1ª ordem, temos sempre
. Aqui
e
.
Passo 3
Agora vamos achar o fator integrante
. Ele é dado por
O papel do fator integrante é permitir escrever o lado esquerdo da EDO como derivada de um produto.
Passo 4
Multiplicamos então toda a equação padrão por
. Obtemos
O lado esquerdo vira a derivada de
, ou seja
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
que dá
sendo
a constante de integração.
Passo 6
Isolando
, temos
Então a solução geral é
.
Passo 7
Para determinar
, usamos a condição inicial
:
Passo 8
Por fim, substituindo
em
, obtemos a solução do PVI: