Dado o problema de valor inicial
t d yd t+(t+1) y=e^2 t, y(1)=0
Encontre a solução do PVI.

Passo 1

O enunciado diz que temos o problema de valor inicial (PVI)
tdydt + (t+1)y = e^2t, y(1)=0
Isso é uma equação diferencial linear de 1ª ordem. Para resolver, vamos reescrever na forma padrão e usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro passo de fato: dividir toda a equação por t (assumindo tneq0) para ficar na forma
dydt + l(1 + 1tr)y = e^2tt
Em EDOs lineares de 1ª ordem, temos sempre y' + P(t)y = Q(t). Aqui P(t)=1+1/t e Q(t)=e^2t/t.

Passo 3

Agora vamos achar o fator integrante mu(t). Ele é dado por
mu(t) = e^integral P(t),dt = e^integrall(1 + tfrac1tr)dt = e^t + ln t = t,e^t
O papel do fator integrante é permitir escrever o lado esquerdo da EDO como derivada de um produto.

Passo 4

Multiplicamos então toda a equação padrão por mu(t)=te^t. Obtemos
te^tdydt + l(t+1r)e^t y = te^tcdote^2tt = e^3t
O lado esquerdo vira a derivada de te^t y, ou seja
ddtl(te^t yr) = e^3t

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
integral ddtl(te^t yr)dt = integral e^3tdt
que dá
te^t y = 13e^3t + C,
sendo C a constante de integração.

Passo 6

Isolando y, temos
y = 1te^tl(tfrac13 e^3t + Cr) = 13e^2tt + Ce^-tt
Então a solução geral é y(t)=tfrac13e^2t/t + C e^-t/t.

Passo 7

Para determinar C, usamos a condição inicial y(1)=0:
0 = 13e^2cdot11 + Ce^-11 Longrightarrow C = -13e^2,e^1 = -13e^3

Passo 8

Por fim, substituindo C=-tfrac13e^3 em y(t), obtemos a solução do PVI:
y(t) = 13e^2tt - 13e^3e^-tt = 13tl(e^2t-e^3-tr)

Resposta

y(t)=13tl(e^2t-e^3-tr).

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