Dado o problema de valor inicial (PVI)
d yd x=9 x+yx-y, y(1)=0
Classifique a EDO quanto à sua ordem e quanto à linearidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um problema de valor inicial (PVI) que é uma equação diferencial. A equação é:
d yd x=9 x+yx-y, y(1)=0
Nosso objetivo aqui é classificar essa EDO (Equação Diferencial Ordinária) em termos de ordem e linearidade. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre o que são ordem e linearidade em equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a ordem da EDO. A ordem de uma equação diferencial é simplesmente o grau da derivada mais alta presente na equação.
Na nossa equação:
d yd x=9 x+yx-y
A derivada mais alta é d yd x, que é a primeira derivada de y em relação a x. Então, a ordem da nossa EDO é primeira ordem.

Passo 3

Agora, vamos entender a linearidade da EDO. Uma EDO de primeira ordem é considerada linear se ela pode ser escrita na forma:
d yd x + P(x) y = Q(x)
Onde P(x) e Q(x) são funções que dependem apenas de x.
Vamos tentar manipular nossa equação para ver se ela se encaixa nessa forma:
Originalmente temos:
d yd x = 9 x + yx - y
Isso pode ser reescrito como:
(x - y) d yd x = 9x + y
Distribuindo o lado esquerdo:
x d yd x - y d yd x = 9x + y
Vemos que além de d yd x, temos termos envolvendo y d yd x, o que torna a equação mais complicada do que a forma linear padrão. Isso indica que a equação não é linear.

Resposta

A EDO dada é de primeira ordem e não linear.

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