Dado o problema de valor inicial (PVI)
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=42 t^{5} e^{t}, \quad y(0)=0 \quad \text { e } \quad y^{\prime}(0)=2
(a) Determine o maior intervalo no qual sua solução certamente existe (e é única). R: R
(b) Obtenha a sua solução usando a transformada e a transformada inversa de Laplace. \mathrm{R}: y=2 t e^{t}+t^{7} e^{t}

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
y''-2y'+y=42\,t^{5}e^{t},\qquad y(0)=0,\qquad y'(0)=2.
Perguntas:
  1. (a) Determinar o maior intervalo no qual a solução certamente existe e é única.
  2. (b) Obter a solução usando a transformada de Laplace e a transformada inversa de Laplace.
Informações relevantes dadas:
\;y''-2y'+y é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes; o termo não-homogêneo é 42\,t^{5}e^{t}; condições iniciais em t=0 são y(0)=0 e y'(0)=2.

Passo 2

Existência e unicidade: vou usar o teorema padrão para equações lineares de segunda ordem. O teorema diz que, para a equação
y''+p(t)y'+q(t)y=g(t),
se p(t),q(t),g(t) forem funções contínuas em um intervalo que contém t_0, então o PVI com condições em t_0 tem solução única nesse intervalo. Aqui podemos reescrever a equação como
y''+(-2)y'+(1)y=42\,t^{5}e^{t},
ou seja, p(t)=-2, q(t)=1 e g(t)=42\,t^{5}e^{t}. As funções p e q são constantes (logo contínuas) em todo \mathbb{R}. A função g(t)=42\,t^{5}e^{t} também é contínua em todo \mathbb{R}. Portanto, pelo teorema, a solução existe e é única em todo o intervalo \mathbb{R}. Conclusão: o maior intervalo de existência e unicidade é \mathbb{R}.

Passo 3

Definição e propriedades da transformada de Laplace necessárias (aula curta e prática):
  • A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt.
  • Se Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s), então as transformadas das derivadas são
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Essas fórmulas surgem aplicando a definição e integrando por partes; aqui armazenamos as condições iniciais y(0) e y'(0) como constantes na álgebra em s.
  • Transformada de t^{n}e^{at}: para inteiro n\ge0,
\mathcal{L}\{t^{n}e^{at}\}(s)=\frac{n!}{(s-a)^{\,n+1}}.
Vou usar essas fórmulas diretamente.

Passo 4

Aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Denotando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s), temos pela linearidade e pelas fórmulas das derivadas:
\mathcal{L}\{y''\}-2\mathcal{L}\{y'\}+\mathcal{L}\{y\}= \mathcal{L}\{42\,t^{5}e^{t}\}.
Substituindo as expressões:
\big(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\big)-2\big(sY(s)-y(0)\big)+Y(s)=\mathcal{L}\{42\,t^{5}e^{t}\}.
Usando as condições y(0)=0 e y'(0)=2, isto fica
s^{2}Y(s)-2-2sY(s)+Y(s)=\mathcal{L}\{42\,t^{5}e^{t}\}.
Calcular a transformada do termo do lado direito usando a fórmula para t^{n}e^{at} com n=5 e a=1:
\mathcal{L}\{42\,t^{5}e^{t}\}(s)=42\cdot\frac{5!}{(s-1)^{6}}.
Como 5!=120, temos 42\cdot120=5040. Logo
\mathcal{L}\{42\,t^{5}e^{t}\}(s)=\frac{5040}{(s-1)^{6}}.

Passo 5

Resolver a equação algébrica em Y(s). Da equação do Passo 4,
s^{2}Y(s)-2sY(s)+Y(s)-2=\frac{5040}{(s-1)^{6}}.
Agrupando Y(s):
Y(s)\big(s^{2}-2s+1\big)=\frac{5040}{(s-1)^{6}}+2.
Observação: s^{2}-2s+1=(s-1)^{2}. Então
Y(s)=(s-1)^{-2}\left(\frac{5040}{(s-1)^{6}}+2\right).
Colocando em fatores:
Y(s)=\frac{5040}{(s-1)^{8}}+\frac{2}{(s-1)^{2}}.

Passo 6

Aplicar a transformada inversa de Laplace termo a termo. Lembrando que, para inteiro k\ge1,
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s-a)^{k}}\right\}(t)=\frac{t^{k-1}}{(k-1)!}e^{at}.
  • Para o primeiro termo, com k=8 e a=1:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{5040}{(s-1)^{8}}\right\}(t)=5040\cdot\frac{t^{7}}{7!}e^{t}.
Como 7!=5040, esse termo vira simplesmente t^{7}e^{t}.
  • Para o segundo termo, com k=2 e a=1:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2}{(s-1)^{2}}\right\}(t)=2\cdot\frac{t^{1}}{1!}e^{t}=2t e^{t}.
Somando os dois termos obtemos a solução no tempo:
y(t)=2t e^{t}+t^{7}e^{t}.

Passo 7

Verificação rápida (boa prática): escrevendo y(t)=e^{t}(2t+t^{7}) e calculando y',y'' por regra do produto, ao formar y''-2y'+y obtém-se 42\,t^{5}e^{t}, e as condições iniciais dão y(0)=0 e y'(0)=2. Assim a solução encontrada satisfaz o PVI, confirmando o resultado.

Resposta

(a) \mathbb{R}
(b) y=2t e^{t}+t^{7} e^{t}

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