Dado o problema de valor inicial (PVI)
(a) Determine o maior intervalo no qual sua solução certamente existe (e é única). R: R
(b) Obtenha a sua solução usando a transformada e a transformada inversa de Laplace.
(b) Obtenha a sua solução usando a transformada e a transformada inversa de Laplace.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
Perguntas:
- (a) Determinar o maior intervalo no qual a solução certamente existe e é única.
- (b) Obter a solução usando a transformada de Laplace e a transformada inversa de Laplace.
Informações relevantes dadas:
é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes; o termo não-homogêneo é
; condições iniciais em
são
e
.
Passo 2
Existência e unicidade: vou usar o teorema padrão para equações lineares de segunda ordem. O teorema diz que, para a equação
se
forem funções contínuas em um intervalo que contém
, então o PVI com condições em
tem solução única nesse intervalo. Aqui podemos reescrever a equação como
ou seja,
,
e
. As funções
e
são constantes (logo contínuas) em todo
. A função
também é contínua em todo
. Portanto, pelo teorema, a solução existe e é única em todo o intervalo
. Conclusão: o maior intervalo de existência e unicidade é
.
Passo 3
Definição e propriedades da transformada de Laplace necessárias (aula curta e prática):
- A transformada de Laplace de uma função
é definida por
- Se
, então as transformadas das derivadas são
Essas fórmulas surgem aplicando a definição e integrando por partes; aqui armazenamos as condições iniciais
e
como constantes na álgebra em
.
- Transformada de
: para inteiro ,
Vou usar essas fórmulas diretamente.
Passo 4
Aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Denotando
, temos pela linearidade e pelas fórmulas das derivadas:
Substituindo as expressões:
Usando as condições
e
, isto fica
Calcular a transformada do termo do lado direito usando a fórmula para
com
e
:
Como
, temos
. Logo
Passo 5
Resolver a equação algébrica em
. Da equação do Passo 4,
Agrupando
:
Observação:
. Então
Colocando em fatores:
Passo 6
Aplicar a transformada inversa de Laplace termo a termo. Lembrando que, para inteiro
,
- Para o primeiro termo, com
e :
Como
, esse termo vira simplesmente
.
- Para o segundo termo, com
e :
Somando os dois termos obtemos a solução no tempo:
Passo 7
Verificação rápida (boa prática): escrevendo
e calculando
por regra do produto, ao formar
obtém-se
, e as condições iniciais dão
e
. Assim a solução encontrada satisfaz o PVI, confirmando o resultado.
Resposta
(a)
(b)
(b)