Dado o problema de valor inicial (PVI)
y^{(3)}+4 y^{\prime}=12, \quad y(0)=y^{\prime}(0)=y^{\prime \prime}(0)=0 .
(a) Obtenha a sua solução usando a transformada e a transformada inversa de Laplace.
R: y=3 x-\frac{3}{2} \sin (2 x)
(b) Mostre que a função encontrada em b) é, de fato, solução da EDO apresentada.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
y^{(3)}+4y'=12,
com condições iniciais
y(0)=0,\quad y'(0)=0,\quad y''(0)=0.
Pede-se: (a) obter a solução do PVI usando a transformada e a transformada inversa de Laplace; (b) mostrar que a função obtida em (a) é de fato solução da EDO (isto é, verificar que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais). As quantidades relevantes fornecidas são a equação diferencial e as três condições iniciais.

Passo 2

Apresento a definição e propriedades que vou usar (explicação didática curta e direta).
A transformada de Laplace de uma função f(x) é definida por
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s x} f(x)\,dx.
Propriedade linear: \mathcal{L}\{a f + b g\}=a\mathcal{L}\{f\}+b\mathcal{L}\{g\}.
Para derivadas, usaremos a fórmula que relaciona a transformada da derivada com as condições iniciais. Se Y(s)=\mathcal{L}\{y\}(s), então
\mathcal{L}\{y'\}(s)=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''\}(s)=s^{2}Y(s)-s y(0)-y'(0),
\mathcal{L}\{y^{(3)}\}(s)=s^{3}Y(s)-s^{2}y(0)-s y'(0)-y''(0).
Essas fórmulas vêm da integração por partes aplicada à integral da transformada; cada termo envolvendo as condições iniciais aparece porque a transformada integra desde 0.

Passo 3

Aplico a transformada de Laplace à equação diferencial termo a termo.
Tomando \mathcal{L} em ambos os lados de
y^{(3)}+4y'=12,
obtemos
\mathcal{L}\{y^{(3)}\}(s)+4\mathcal{L}\{y'\}(s)=\mathcal{L}\{12\}(s).
Usando as fórmulas do passo anterior e as condições iniciais y(0)=y'(0)=y''(0)=0, temos
\left(s^{3}Y(s)-s^{2}\cdot 0 - s\cdot 0 - 0\right)+4\left(sY(s)-0\right)=\frac{12}{s}.
Isso simplifica para
s^{3}Y(s)+4sY(s)=\frac{12}{s}.

Passo 4

Coloco Y(s) em evidência e simplifico a expressão.
Y(s)\bigl(s^{3}+4s\bigr)=\frac{12}{s}.
Note que s^{3}+4s=s(s^{2}+4). Portanto
Y(s)=\frac{12/s}{s(s^{2}+4)}=\frac{12}{s^{2}(s^{2}+4)}.
Agora precisamos inverter a transformada de Laplace de Y(s). Para isso convém decompor em frações parciais.

Passo 5

Faço a decomposição em frações parciais de
\frac{12}{s^{2}(s^{2}+4)}.
Proponho a forma
\frac{12}{s^{2}(s^{2}+4)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}+\frac{Cs+D}{s^{2}+4}.
Multiplico ambos os lados por s^{2}(s^{2}+4) para encontrar os coeficientes:
12 = A s(s^{2}+4) + B(s^{2}+4) + (Cs+D)s^{2}.
Expando os termos à direita:
12 = (A+C)s^{3} + (B+D)s^{2} + 4A s + 4B.
Como a igualdade vale para todo s, igualo coeficientes dos polinômios (coeficientes das potências de s).

Passo 6

Resolvo o sistema de coeficientes comparando cada potência de s.
Coeficiente de s^{3}: A+C=0.
Coeficiente de s^{2}: B+D=0.
Coeficiente de s^{1}: 4A=0\Rightarrow A=0.
Coeficiente independente ( s^{0}): 4B=12\Rightarrow B=3.
Com A=0 segue C=0. Com B=3 e B+D=0 segue D=-3.
Portanto a decomposição é
\frac{12}{s^{2}(s^{2}+4)}=\frac{3}{s^{2}}-\frac{3}{s^{2}+4}.

Passo 7

Aplicando a transformada inversa termo a termo.
Recorde as transformadas inversas padrões:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}}\right\}(x)=x,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}+a^{2}}\right\}(x)=\frac{1}{a}\sin(ax).
No nosso caso a=2, pois s^{2}+4=s^{2}+2^{2}. Então
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{3}{s^{2}}\right\}(x)=3x,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{-3}{s^{2}+4}\right\}(x)=-3\cdot\frac{1}{2}\sin(2x)=-\frac{3}{2}\sin(2x).
Somando os dois termos obtemos a solução no domínio do tempo:
y(x)=3x-\frac{3}{2}\sin(2x).

Passo 8

Agora verifico explicitamente que y(x)=3x-\dfrac{3}{2}\sin(2x) satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais (verificação pedida em (b)). Primeiro calculo as derivadas necessárias, passo a passo e explicando as regras usadas (derivada de seno/cosseno e regra da cadeia).
Função:
y(x)=3x-\frac{3}{2}\sin(2x).
Derivando:
y'(x)=3-\frac{3}{2}\cdot 2\cos(2x)=3-3\cos(2x).
Derivando novamente:
y''(x)=0 - 3\cdot(-2)\sin(2x)=6\sin(2x).
Derivada terceira:
y^{(3)}(x)=6\cdot 2\cos(2x)=12\cos(2x).
(Usei: \dfrac{d}{dx}\sin(2x)=2\cos(2x) e \dfrac{d}{dx}\cos(2x)=-2\sin(2x).)

Passo 9

Substituo y^{(3)} e y' na equação y^{(3)}+4y'=12 para verificar:
y^{(3)}(x)+4y'(x)=12\cos(2x)+4\bigl(3-3\cos(2x)\bigr).
Calculo o lado direito:
12\cos(2x)+12-12\cos(2x)=12.
Logo a equação diferencial é satisfeita para todo x.

Passo 10

Verifico as condições iniciais:
y(0)=3\cdot 0 -\frac{3}{2}\sin(0)=0,
y'(0)=3-3\cos(0)=3-3=0,
y''(0)=6\sin(0)=0.
Portanto y(0)=y'(0)=y''(0)=0, ou seja, as condições iniciais são satisfeitas.

Resposta

y(x)=3x-\frac{3}{2}\sin(2x)
A função é solução: substituindo obtém-se y^{(3)}+4y'=12 e y(0)=y'(0)=y''(0)=0.

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