Dado o problema de valor inicial (PVI)
(a) Obtenha a sua solução usando a transformada e a transformada inversa de Laplace.
R:
(b) Mostre que a função encontrada em b) é, de fato, solução da EDO apresentada.
(b) Mostre que a função encontrada em b) é, de fato, solução da EDO apresentada.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
com condições iniciais
Pede-se: (a) obter a solução do PVI usando a transformada e a transformada inversa de Laplace; (b) mostrar que a função obtida em (a) é de fato solução da EDO (isto é, verificar que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais). As quantidades relevantes fornecidas são a equação diferencial e as três condições iniciais.
Passo 2
Apresento a definição e propriedades que vou usar (explicação didática curta e direta).
A transformada de Laplace de uma função é definida por
A transformada de Laplace de uma função
Propriedade linear:
.
Para derivadas, usaremos a fórmula que relaciona a transformada da derivada com as condições iniciais. Se , então
Para derivadas, usaremos a fórmula que relaciona a transformada da derivada com as condições iniciais. Se
Essas fórmulas vêm da integração por partes aplicada à integral da transformada; cada termo envolvendo as condições iniciais aparece porque a transformada integra desde
.
Passo 3
Aplico a transformada de Laplace à equação diferencial termo a termo.
Tomando em ambos os lados de
Tomando
obtemos
Usando as fórmulas do passo anterior e as condições iniciais
, temos
Isso simplifica para
Passo 4
Coloco
em evidência e simplifico a expressão.
Note que
. Portanto
Agora precisamos inverter a transformada de Laplace de
. Para isso convém decompor em frações parciais.
Passo 5
Faço a decomposição em frações parciais de
Proponho a forma
Multiplico ambos os lados por
para encontrar os coeficientes:
Expando os termos à direita:
Como a igualdade vale para todo
, igualo coeficientes dos polinômios (coeficientes das potências de
).
Passo 6
Resolvo o sistema de coeficientes comparando cada potência de
.
Coeficiente de :
.
Coeficiente de :
.
Coeficiente de :
.
Coeficiente independente ( ):
.
Com segue
. Com
e
segue
.
Portanto a decomposição é
Coeficiente de
Coeficiente de
Coeficiente de
Coeficiente independente (
Com
Portanto a decomposição é
Passo 7
Aplicando a transformada inversa termo a termo.
Recorde as transformadas inversas padrões:
Recorde as transformadas inversas padrões:
No nosso caso
, pois
. Então
Somando os dois termos obtemos a solução no domínio do tempo:
Passo 8
Agora verifico explicitamente que
satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais (verificação pedida em (b)). Primeiro calculo as derivadas necessárias, passo a passo e explicando as regras usadas (derivada de seno/cosseno e regra da cadeia).
Função:
Derivando:
Derivando novamente:
Derivada terceira:
(Usei:
e
.)
Passo 9
Substituo
e
na equação
para verificar:
Calculo o lado direito:
Logo a equação diferencial é satisfeita para todo
.
Passo 10
Verifico as condições iniciais:
Portanto
, ou seja, as condições iniciais são satisfeitas.
Resposta
A função é solução: substituindo obtém-se
e
.