Dado o problema de valor inicial (PVI)
x y^{\prime}=y+x e^{-y / x}, \quad y(1)=0 .
(a) ( 0,4 ponto) Classifique a EDO quanto à sua ordem e quanto à linearidade.
(b) ( 0,3 ponto) Mostre que a EDO é homogênea.
(c) ( 1,6 ponto) Determine a solução do PVI.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
x\,y' = y + x\,e^{-y/x},\quad y(1)=0,
e pede: (a) classificar a EDO quanto à ordem e à linearidade; (b) mostrar que ela é homogênea; (c) encontrar a solução do PVI. Para isso vamos reescrever a EDO em forma y'=f(x,y), usar a teoria de EDOs homogêneas e aplicar o método da substituição u=y/x.

Passo 2

Para classificar a EDO, escrevemos
y' = \frac{y}{x} + e^{-y/x}.
É uma EDO de primeira ordem porque só aparece y' (nenhuma derivada de ordem maior). É não–linear pois o termo e^{-y/x} não é afim em y.

Passo 3

A EDO é dita homogênea se, ao escrever
y' = f\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr),
a função do lado direito depende apenas da razão y/x. Aqui
f\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr) = \frac{y}{x} + e^{-\,y/x},
logo a EDO é homogênea de grau zero.

Passo 4

Para resolver, fazemos a substituição
u = \frac{y}{x}\quad\Longrightarrow\quad y = x\,u.
Derivando em x,
y' = u + x\,u'.
Substituindo em y' = \frac{y}{x} + e^{-y/x}
u + x\,u' = u + e^{-u} \quad\Longrightarrow\quad x\,u' = e^{-u}.

Passo 5

Separamos e integramos:
e^{u}\,du = \frac{dx}{x}.
Integrando ambos os lados,
\int e^{u}\,du = \int \frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad e^{u} = \ln|x| + C.
Voltando a u,
u = \ln\bigl(\ln|x| + C\bigr).
E então
y = x\,u = x\,\ln\bigl(\ln|x| + C\bigr).

Passo 6

Usamos a condição y(1)=0:
0 = 1\cdot \ln\bigl(\ln1 + C\bigr) \;\Longrightarrow\; \ln\text{(C)} = 0 \;\Longrightarrow\; C = 1.
Fica a solução particular
y(x) = x \,\ln\bigl(\ln x + 1\bigr),
válida para x>0.

Resposta

(a) É uma EDO de primeira ordem e não–linear.
(b) É homogênea (o lado direito depende só de y/x).
(c) A solução do PVI é
y(x) = x\,\ln\bigl(\ln x + 1\bigr).

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