Dado o problema de valor inicial (PVI)
(a) ( 0,4 ponto) Classifique a EDO quanto à sua ordem e quanto à linearidade.
(b) ( 0,3 ponto) Mostre que a EDO é homogênea.
(c) ( 1,6 ponto) Determine a solução do PVI.
(b) ( 0,3 ponto) Mostre que a EDO é homogênea.
(c) ( 1,6 ponto) Determine a solução do PVI.
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial
e pede: (a) classificar a EDO quanto à ordem e à linearidade; (b) mostrar que ela é homogênea; (c) encontrar a solução do PVI. Para isso vamos reescrever a EDO em forma
, usar a teoria de EDOs homogêneas e aplicar o método da substituição
.
Passo 2
Para classificar a EDO, escrevemos
É uma EDO de primeira ordem porque só aparece
(nenhuma derivada de ordem maior). É não–linear pois o termo
não é afim em
.
Passo 3
A EDO é dita homogênea se, ao escrever
a função do lado direito depende apenas da razão
. Aqui
logo a EDO é homogênea de grau zero.
Passo 4
Para resolver, fazemos a substituição
Derivando em
,
Substituindo em
dá
Passo 5
Separamos e integramos:
Integrando ambos os lados,
Voltando a
,
E então
Passo 6
Usamos a condição
:
Fica a solução particular
válida para
.
Resposta
(a) É uma EDO de primeira ordem e não–linear.
(b) É homogênea (o lado direito depende só de ).
(c) A solução do PVI é
(b) É homogênea (o lado direito depende só de
(c) A solução do PVI é