O método esquematizado no Problema 30 pode ser usado para qualquer equação homogênea, isto é, a substituição y=x z(x) transforma uma equação homogênea em uma equação separável. Essa última pode ser resolvida por integração direta, e a substituição de v por y / x, depois, fornece a solução da equação original.
\frac{d y}{d x}=\frac{3 y^{2}-x^{2}}{2 x y}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial homogênea
\frac{dy}{dx}=\frac{3y^{2}-x^{2}}{2xy}
e sugere usar a substituição y=x\,v(x), que transforma a equação homogênea em uma equação separável em v e x.

Passo 2

Fazendo y=xv, temos
\frac{dy}{dx}=v + x\frac{dv}{dx}.
Substituindo na equação original,
v + x\frac{dv}{dx} =\frac{3(xv)^{2}-x^{2}}{2x\,(xv)} =\frac{3v^{2}-1}{2v}.

Passo 3

Isolando dv/dx, obtemos
x\frac{dv}{dx} =\frac{3v^{2}-1}{2v}-v =\frac{v^{2}-1}{2v}.
Logo a equação fica separável:
\frac{2v}{v^{2}-1}\,dv=\frac{dx}{x}.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int \frac{2v}{v^{2}-1}\,dv =\int \frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad \ln\bigl|v^{2}-1\bigr| =\ln\bigl|x\bigr|+C_{1}.
Chamando C=e^{C_{1}}, fica
v^{2}-1=C\,x.

Passo 5

Voltando à variável original v=y/x,
\frac{y^{2}}{x^{2}}-1=C\,x \quad\Longrightarrow\quad y^{2}=x^{2}\bigl(1+Cx\bigr).

Resposta

A solução geral é
y^{2}=x^{2}+C\,x^{3},
ou equivalentemente
y=\pm x\sqrt{1+Cx}.

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