O método esquematizado no Problema 30 pode ser usado para qualquer equação homogênea, isto é, a substituição y=x z(x) transforma uma equação homogênea em uma equação separável. Essa última pode ser resolvida por integração direta, e a substituição de v por y / x, depois, fornece a solução da equação original. \frac{d y}{d x}=\frac{3 y^{2}-x^{2}}{2 x y}
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial homogênea
\frac{dy}{dx}=\frac{3y^{2}-x^{2}}{2xy}
e sugere usar a substituição y=x\,v(x), que transforma a equação homogênea em uma equação separável em v e x.
Passo 2
Fazendo y=xv, temos
\frac{dy}{dx}=v + x\frac{dv}{dx}.
Substituindo na equação original,
v + x\frac{dv}{dx} =\frac{3(xv)^{2}-x^{2}}{2x\,(xv)} =\frac{3v^{2}-1}{2v}.