Dada a equação diferencial
\frac{d y}{d x}+\frac{2 y^{2}+6 x y-4}{3 x^{2}+4 x y+3 y^{2}}=0 .
(a) ( 0,4 ponto) Classifique-a quanto à sua ordem e quanto à linearidade.
(b) ( 1,6 ponto) Determine a solução da EDO apresentada.

Passo 1

O enunciado dá a equação
\frac{dy}{dx}+\frac{2y^{2}+6xy-4}{3x^{2}+4xy+3y^{2}}=0
Trata-se de uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, pois só aparece a derivada dy/dx de ordem 1. Ela não é linear em y, porque o termo (2y^{2}+6xy-4)/(3x^{2}+4xy+3y^{2}) envolve potências de y maiores que 1 e não está na forma dy/dx + P(x)\,y = Q(x).

Passo 2

Reescrevemos em forma de diferencial total igual a zero, multiplicando ambos os lados por 3x^{2}+4xy+3y^{2}:
(2y^{2}+6xy-4)\,dx + (3x^{2}+4xy+3y^{2})\,dy = 0.
Chamemos
M(x,y)=2y^{2}+6xy-4,\quad N(x,y)=3x^{2}+4xy+3y^{2}.

Passo 3

Verificamos se a equação é exata, isto é, se \partial M/\partial y = \partial N/\partial x:
\frac{\partial M}{\partial y}=4y+6x, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=6x+4y,
logo são iguais e a equação é exata.

Passo 4

Como é exata, existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M, \qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N.
Integramos M em relação a x:
\Phi(x,y)=\int(2y^{2}+6xy-4)\,dx =2xy^{2}+3x^{2}y-4x + h(y),
onde h(y) é função de y a determinar.

Passo 5

Derivamos \Phi em relação a y e igualamos a N:
\frac{\partial \Phi}{\partial y} =4xy+3x^{2}+h'(y) \stackrel!=3x^{2}+4xy+3y^{2}.
Daí h'(y)=3y^{2}, integrando em y:
h(y)=y^{3}.

Passo 6

Portanto a solução implícita geral é
\Phi(x,y)=2xy^{2}+3x^{2}y-4x+y^{3}=C,
com C constante arbitrária.

Resposta

(a) A equação é de ordem 1 e não linear.
(b) A solução geral, em forma implícita, é
2x\,y^{2}+3x^{2}y-4x+y^{3}=C.

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