Dada a equação diferencial
(a) ( 0,4 ponto) Classifique-a quanto à sua ordem e quanto à linearidade.
(b) ( 1,6 ponto) Determine a solução da EDO apresentada.
(b) ( 1,6 ponto) Determine a solução da EDO apresentada.
Passo 1
O enunciado dá a equação
Trata-se de uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, pois só aparece a derivada
de ordem 1. Ela não é linear em
, porque o termo
envolve potências de
maiores que 1 e não está na forma
.
Passo 2
Reescrevemos em forma de diferencial total igual a zero, multiplicando ambos os lados por
:
Chamemos
Passo 3
Verificamos se a equação é exata, isto é, se
:
logo são iguais e a equação é exata.
Passo 4
Como é exata, existe uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
:
onde
é função de
a determinar.
Passo 5
Derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Daí
, integrando em
:
Passo 6
Portanto a solução implícita geral é
com
constante arbitrária.
Resposta
(a) A equação é de ordem 1 e não linear.
(b) A solução geral, em forma implícita, é
(b) A solução geral, em forma implícita, é