Dada a equação diferencial
(a) (1,6 ponto) Encontre a solução geral da mesma.
(b) ( 0,5 ponto) Mostre que a função encontrada em a) é, de fato, solução da EDO apresentada.
(b) ( 0,5 ponto) Mostre que a função encontrada em a) é, de fato, solução da EDO apresentada.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede: (a) a solução geral; (b) verificar que essa solução satisfaz a EDO. Vamos usar o método de equação separável.
Passo 2
Separamos as variáveis dividindo ambos os lados por
e multiplicando por
:
Passo 3
Integramos os dois lados. No lado esquerdo é direto, no direito usamos a substituição
, logo
:
Passo 4
Exponenciando, obtemos
Definindo
como constante real geral, a solução fica
Passo 5
Agora verificamos que
é de fato solução. Calculando a derivada:
Por outro lado, a direita da EDO é
que coincide com
. Logo, comprovamos que a solução satisfaz a EDO.
Resposta
(a) A solução geral é
(b) Diferenciando e comparando, obtemos
logo a função encontrada satisfaz a equação diferencial.