Dada a equação diferencial
y^{\prime}=\frac{x^{2} y}{x^{3}-1},
(a) (1,6 ponto) Encontre a solução geral da mesma.
(b) ( 0,5 ponto) Mostre que a função encontrada em a) é, de fato, solução da EDO apresentada.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
y'=\frac{x^{2}\,y}{x^{3}-1}
e pede: (a) a solução geral; (b) verificar que essa solução satisfaz a EDO. Vamos usar o método de equação separável.

Passo 2

Separamos as variáveis dividindo ambos os lados por y e multiplicando por dx:
\frac{1}{y}\,dy = \frac{x^{2}}{x^{3}-1}\,dx.

Passo 3

Integramos os dois lados. No lado esquerdo é direto, no direito usamos a substituição u=x^{3}-1, logo du=3x^{2}\,dx:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int \frac{x^{2}}{x^{3}-1}\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln\bigl|y\bigr| = \frac{1}{3}\ln\bigl|x^{3}-1\bigr| + C.

Passo 4

Exponenciando, obtemos
\bigl|y\bigr| = e^{C}\,\bigl|x^{3}-1\bigr|^{1/3}.
Definindo K=\pm e^{C} como constante real geral, a solução fica
y = K\,(x^{3}-1)^{1/3}.

Passo 5

Agora verificamos que
y(K) = K\,(x^{3}-1)^{1/3}
é de fato solução. Calculando a derivada:
y' = K\cdot\frac{1}{3}(x^{3}-1)^{-2/3}\cdot 3x^{2} = K\,x^{2}\,(x^{3}-1)^{-2/3}.
Por outro lado, a direita da EDO é
\frac{x^{2}\,y}{x^{3}-1} = \frac{x^{2}\,\bigl[K\,(x^{3}-1)^{1/3}\bigr]}{x^{3}-1} = K\,x^{2}\,(x^{3}-1)^{-2/3},
que coincide com y'. Logo, comprovamos que a solução satisfaz a EDO.

Resposta

(a) A solução geral é
y = K\,(x^{3}-1)^{1/3},\quad K\in\mathbb{R}.
(b) Diferenciando e comparando, obtemos
y' = K\,x^{2}\,(x^{3}-1)^{-2/3} \quad\text{e}\quad \frac{x^{2}\,y}{x^{3}-1} =K\,x^{2}\,(x^{3}-1)^{-2/3},
logo a função encontrada satisfaz a equação diferencial.

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