Considere a equação diferencial
(x+yx) d x+(1+e^yx) d y=0
Mostre que ela não é exata.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a equação diferencial
l(x+yxr)dx + l(1+e^yxr)dy = 0
não é exata. Esse conteúdo é sobre equações diferenciais exatas, para as quais devemos usar o teste de exatidão: dados M(x,y)dx + N(x,y)dy=0, a equação é exata se e somente se partial M/partial y = partial N/partial x. Vamos precisar identificar M e N e calcular essas derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro identificamos as funções:
M(x,y) = x + yx, N(x,y) = 1 + e^yx
Agora calculamos a derivada parcial de M em relação a y.

Passo 3

Derivando M em relação a y:
partial Mpartial y = partialpartial yl(x + yxr) = 0 + 1x = 1x

Passo 4

Agora derivamos N em relação a x:
partial Npartial x = partialpartial xl(1 + e^yxr) = 0 - e^yx^2 = -e^yx^2

Passo 5

Como partial M/partial y = 1/x é diferente de partial N/partial x = -e^y/x^2, o teste de exatidão falha e concluímos que a equação não é exata.

Resposta

A derivada partial M/partial y=1/x é distinta de partial N/partial x=-e^y/x^2, logo a equação não é exata.

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