Dada a EDO de 1 Ordem
y^prime=-xy
(a) Verifique se tal EDO é separável.
(b) Resolva tal EDO.

Passo 1

Temos a EDO de primeira ordem dydx = -xy. O objetivo é (a) verificar se é separável e (b) resolver por separação de variáveis.

Passo 2

Para checar separabilidade, a gente reescreve dydx = -xy agrupando y em um lado e x no outro:
y,dy = -x,dx
Com isso as variáveis ficam separadas, então ela é separável.

Passo 3

Integrando ambos os lados:
integral y,dy = integral -x,dx
Fazendo as integrais, obtemos tfracy^22 = -tfracx^22 + C, onde C é a constante de integração.

Passo 4

Multiplicando por 2 e isolando y^2:
y^2 = -x^2 + C'
onde C' = 2C. Isso leva à forma implícita da solução y^2 + x^2 = C' e, ao isolar y, temos y(x) = pmraizC' - x^2.

Resposta

A solução geral é y^2 + x^2 = C, ou equivalentemente y(x) = pmraizC - x^2.

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