Dado o problema de valor inicial:
2 y^prime prime-5 y^prime-3 y & =0 y(0)=0, y^prime(0) & =2
Resolva tal PVI.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem:
2 y^prime prime - 5 y^prime - 3 y = 0
E também nos dá as condições iniciais:
y(0) = 0, y^prime(0) = 2
Vamos precisar usar o método das equações características para resolver essa equação diferencial homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação da forma:
a y^prime prime + b y^prime + c y = 0
A equação característica é:
a r^2 + b r + c = 0
No nosso caso, a = 2, b = -5, e c = -3. Então, a equação característica fica:
2 r^2 - 5 r - 3 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4 a c2 a
Substituindo os valores:
r = -(-5) pm raiz(-5)^2 - 4 cdot 2 cdot (-3)2 cdot 2 = 5 pm raiz25 + 244 = 5 pm raiz494 = 5 pm 74
Então, temos duas soluções para r:
  1. $ r = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3 $
  2. $ r = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5 $

Passo 4

Com os valores de r encontrados, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Como temos duas raízes reais e distintas ( r1 = 3 e r2 = -0.5), a solução geral é:
y(t) = C1 e^3 t + C2 e^-0.5 t
Onde C1 e C2 são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores de C1 e C2.
Primeiro, aplicamos y(0) = 0:
0 = C1 e^3 cdot 0 + C2 e^-0.5 cdot 0 0 = C1 + C2
Isso nos dá a equação:
C1 + C2 = 0 Rightarrow C2 = -C1
Agora, vamos calcular a derivada de y(t) para usar a segunda condição y^prime(0) = 2:
y^prime(t) = 3 C1 e^3 t - 0.5 C2 e^-0.5 t
Aplicando t = 0:
2 = 3 C1 e^0 - 0.5 C2 e^0 2 = 3 C1 - 0.5 C2
Substituindo C2 = -C1:
2 = 3 C1 - 0.5 (-C1) 2 = 3 C1 + 0.5 C1 2 = 3.5 C1 C1 = 23.5 = 47
E como C2 = -C1:
C2 = -47

Resposta

Substituindo C1 e C2 na solução geral, temos:
y(t) = 47 e^3 t - 47 e^-0.5 t
Essa é a solução do problema de valor inicial dado.

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