Dado o problema de valor inicial:
Resolva tal PVI.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem:
E também nos dá as condições iniciais:
Vamos precisar usar o método das equações características para resolver essa equação diferencial homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação da forma:
A equação característica é:
No nosso caso,
,
, e
. Então, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Então, temos duas soluções para
:
- $ r = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3 $
- $ r = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5 $
Passo 4
Com os valores de
encontrados, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Como temos duas raízes reais e distintas (
e
), a solução geral é:
Onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Primeiro, aplicamos
:
Isso nos dá a equação:
Agora, vamos calcular a derivada de
para usar a segunda condição
:
Aplicando
:
Substituindo
:
E como
:
Resposta
Substituindo
e
na solução geral, temos:
Essa é a solução do problema de valor inicial dado.