Dado processo descrito pela seguinte função de transferência:
Obter
e esboce a resposta a uma perturbação degrau unitário em
para:
Quando:
Obter
Quando:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um processo descrito por duas funções de transferência:
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a relação entre a saída
e a entrada
, ou seja,
. Além disso, queremos esboçar a resposta desse sistema a uma perturbação degrau unitário em
. Vamos usar conceitos de Funções de Transferência e Resposta ao Degrau da Engenharia de Controle para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar
. Olhando para a primeira equação:
Para isolar
, basta dividir ambos os lados por
:
Então, já temos a relação entre
e
.
Passo 3
Agora, precisamos esboçar a resposta do sistema a uma perturbação degrau unitário em
. Primeiro, vamos entender como
afeta
. Da segunda equação:
Se
for um degrau unitário, então
. Assim, substituindo:
Isso é uma cascata de dois sistemas de primeira ordem. Para achar
em função de
, vamos multiplicar as duas funções de transferência:
Passo 4
Para encontrar a resposta no tempo, precisamos fazer a transformação inversa de Laplace. Vamos decompor em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Agora, vamos resolver para
e
.
Passo 5
Escolhendo
:
Escolhendo
:
Então, a decomposição fica:
Passo 6
Agora, aplicando a transformação inversa de Laplace:
Essa é a resposta no tempo para a entrada degrau unitário em
.
Resposta
A resposta do sistema a uma perturbação degrau unitário em
é: