Dado processo descrito pela seguinte função de transferência:
Y(s)=5s+6 U(s)
U(s)=1s+2 Z(s)
Obter Y(s)U(s) e esboce a resposta a uma perturbação degrau unitário em Z(s) para:
Quando:
l t<0, z=0 t >= 0, z=1

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um processo descrito por duas funções de transferência:
Y(s) = 5s + 6 cdot U(s)
U(s) = 1s + 2 cdot Z(s)
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a relação entre a saída e a entrada , ou seja, . Além disso, queremos esboçar a resposta desse sistema a uma perturbação degrau unitário em . Vamos usar conceitos de Funções de Transferência e Resposta ao Degrau da Engenharia de Controle para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar Y(s) = 5s + 6 cdot U(s) . Olhando para a primeira equação:
Y(s)U(s) = 5s + 6
Para isolar , basta dividir ambos os lados por :
Então, já temos a relação entre e .

Passo 3

Agora, precisamos esboçar a resposta do sistema a uma perturbação degrau unitário em U(s) = 1s + 2 cdot Z(s) . Primeiro, vamos entender como U(s) = 1s + 2 cdot 1s afeta Y(s)Z(s) = 5s + 6 cdot 1s + 2 = 5(s + 2)(s + 6) . Da segunda equação:
Se for um degrau unitário, então . Assim, substituindo:
Isso é uma cascata de dois sistemas de primeira ordem. Para achar em função de , vamos multiplicar as duas funções de transferência:

Passo 4

Para encontrar a resposta no tempo, precisamos fazer a transformação inversa de Laplace. Vamos decompor em frações parciais:
5(s + 2)(s + 6) = As + 2 + Bs + 6
Multiplicando ambos os lados por 5 = A(s + 6) + B(s + 2) :
Agora, vamos resolver para e .

Passo 5

Escolhendo 5 = A(-6 + 6) + B(-6 + 2) Rightarrow 5 = 0 + B(-4) Rightarrow B = -54 :
5 = A(-2 + 6) + B(-2 + 2) Rightarrow 5 = A(4) + 0 Rightarrow A = 54
Escolhendo 5(s + 2)(s + 6) = 54s + 2 - 54s + 6 :
Então, a decomposição fica:

Passo 6

Agora, aplicando a transformação inversa de Laplace:
Y(t) = 54 e^-2t - 54 e^-6t
Essa é a resposta no tempo para a entrada degrau unitário em .

Resposta

A resposta do sistema a uma perturbação degrau unitário em Y(t) = 54 ( e^-2t - e^-6t ), t >= 0 é:

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