Dado um sistema descrito pela equação diferencial:
Verifique se trata-se de um processo subamortecido, criticamente amortecido ou superamortecido (sobreamortecido), justificando as respostas. Esboce a resposta a uma perturbação degrau unitário em
.
Considere:
Considere:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre equações diferenciais que descreve um sistema com certa dinâmica. O objetivo é descobrir se o sistema é subamortecido, criticamente amortecido ou superamortecido. Também precisamos esboçar como o sistema responde a uma entrada tipo degrau unitário. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de amortecimento em sistemas de segunda ordem e como analisar a equação diferencial dada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da equação diferencial que você forneceu:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem onde:
-
é a aceleração do sistema. -
representa o termo de amortecimento. -
é o termo elástico ou restaurador. -
é a força de entrada ou estímulo ao sistema.
Passo 3
Agora, precisamos comparar essa equação com a forma padrão de uma equação diferencial de segunda ordem:
Onde:
-
�� a frequência natural não amortecida do sistema. -
é a razão de amortecimento.
Comparando os dois, temos:
-
-
⇒
Passo 4
Com
, podemos encontrar
:
Passo 5
A razão de amortecimento
nos permite classificar o sistema:
- Se
: Subamortecido - Se
: Criticamente amortecido - Se
: Superamortecido
No nosso caso,
, que é menor que 1. Portanto, o sistema é subamortecido.
Passo 6
Para esboçar a resposta a um degrau unitário
, lembramos que em um sistema subamortecido, a resposta exibirá oscilações que decaem ao longo do tempo até atingir o estado estacionário.
Isso significa que, quando aplicamos um degrau, a saída
irá oscilar acima e abaixo do valor final desejado, diminuindo a amplitude dessas oscilações gradualmente até se estabilizar.
Resposta
O sistema é subamortecido, já que a razão de amortecimento
é menor que 1. A resposta do sistema a um degrau unit��rio exibirá oscilações que diminuem ao longo do tempo, estabilizando-se no valor final sem exceder infinitamente o ponto de equilíbrio.