Dado um sistema descrito pela equação diferencial:
d^2 y(t)d t^2+0,5 d y(t)d t+y(t)=2 u(t)
Verifique se trata-se de um processo subamortecido, criticamente amortecido ou superamortecido (sobreamortecido), justificando as respostas. Esboce a resposta a uma perturbação degrau unitário em u(t).
Considere:
d^2 y(t=0)d t^2=0 ; d y(t=0)d t=0 y(t=0)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre equações diferenciais que descreve um sistema com certa dinâmica. O objetivo é descobrir se o sistema é subamortecido, criticamente amortecido ou superamortecido. Também precisamos esboçar como o sistema responde a uma entrada tipo degrau unitário. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de amortecimento em sistemas de segunda ordem e como analisar a equação diferencial dada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação diferencial que você forneceu:
d^2 y(t)d t^2 + 0,5 dy(t)dt + y(t) = 2 u(t)
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem onde:
  • é a aceleração do sistema.
  • representa o termo de amortecimento.
  • é o termo elástico ou restaurador.
  • é a força de entrada ou estímulo ao sistema.

Passo 3

Agora, precisamos comparar essa equação com a forma padrão de uma equação diferencial de segunda ordem:
d^2 y(t)dt^2 + 2 zeta omegan dy(t)dt + omegan^2 y(t) = omegan^2 k u(t)
Onde:
  • �� a frequência natural não amortecida do sistema.
  • é a razão de amortecimento.
Comparando os dois, temos:

Passo 4

Com 2 zeta (1) = 0,5 Rightarrow zeta = 0,52 = 0,25 , podemos encontrar :

Passo 5

A razão de amortecimento nos permite classificar o sistema:
  • Se : Subamortecido
  • Se : Criticamente amortecido
  • Se : Superamortecido
No nosso caso, , que é menor que 1. Portanto, o sistema é subamortecido.

Passo 6

Para esboçar a resposta a um degrau unitário , lembramos que em um sistema subamortecido, a resposta exibirá oscilações que decaem ao longo do tempo até atingir o estado estacionário.
Isso significa que, quando aplicamos um degrau, a saída irá oscilar acima e abaixo do valor final desejado, diminuindo a amplitude dessas oscilações gradualmente até se estabilizar.

Resposta

O sistema é subamortecido, já que a razão de amortecimento é menor que 1. A resposta do sistema a um degrau unit��rio exibirá oscilações que diminuem ao longo do tempo, estabilizando-se no valor final sem exceder infinitamente o ponto de equilíbrio.

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