Traçar os lugares das raízes para o sistema de controle a malha fechada:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para traçarmos os lugares das raízes (ou lugar das raízes) do sistema de malha fechada. Estamos trabalhando com um sistema de controle que tem a função de transferência
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de lugar das raízes, identificar os polos e zeros do sistema, e aplicar as regras do método de desenho do lugar das raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os zeros e polos da função
. Os zeros são os valores de
que fazem o numerador ser zero, e os polos são os valores de
que fazem o denominador ser zero.
Para
:
- Zeros: Resolvemos
→ . - Polos: Resolvemos
. Essa equação pode não ter raízes reais simples, mas para o lugar das raízes vamos considerar os polos complexos.
Passo 3
Agora, vamos traçar o lugar das raízes. O lugar das raízes mostra como as posições dos polos do sistema de malha fechada mudam no plano complexo à medida que o ganho
varia de 0 a infinito.
As regras básicas para desenhar o lugar das raízes incluem:
- Identificar os polos e zeros no plano complexo.
- Determinar os assíntotas do lugar das raízes.
- Encontrar os pontos de interseção com o eixo imaginário.
- Esboçar as linhas do lugar das raízes com base nessas informações.
Passo 4
Primeiro, vamos identificar os polos e zeros:
- Zero:
. - Polos: as raízes de
. Vamos calcular aproximadamente: - Usando a fórmula ou métodos numéricos, encontramos que os polos estão em
e dois pares complexos conjugados .
- Usando a fórmula ou métodos numéricos, encontramos que os polos estão em
Passo 5
Em seguida, determinamos as assíntotas. As assíntotas indicam para onde os ramos do lugar das raízes vão quando
tende ao infinito. A fórmula para o ângulo das assíntotas é:
Onde:
-
é o número de polos. -
é o número de zeros. -
é um inteiro.
Aqui,
e
, então
, e as assíntotas serão:
Portanto, as assíntotas estão a 90° e 270°, indicando que os ramos irão para cima e para baixo no plano imaginário.
Passo 6
Vamos encontrar o ponto de interseção das assíntotas no eixo real, que é dado por:
Onde
é a soma dos polos e
é a soma dos zeros.
Calculando:
Então, o ponto de interseção das assíntotas no eixo real é
.
Passo 7
Por fim, vamos esboçar o lugar das raízes com base nas informações obtidas:
- Os ramos começam nos polos
e . - Há um ramo que se aproxima do zero em
(zero). - As assíntotas indicam que um ramo vai para cima e outro para baixo, com inclinações de 90° e 270°, passando pelo ponto
.
O lugar das raízes será um conjunto que conecta os polos ao zero, seguindo as assíntotas para
aumentando.
Resposta
O lugar das raízes para o sistema de malha fechada é composto por ramos que partem dos polos
e
, convergem para o zero em
e seguem assíntotas com ângulos de 90° e 270°, passando pelo ponto
no plano complexo.