Traçar os lugares das raízes para o sistema de controle a malha fechada:
G(s)=K(s+0,5)s^3+s^2+1 H(s)=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para traçarmos os lugares das raízes (ou lugar das raízes) do sistema de malha fechada. Estamos trabalhando com um sistema de controle que tem a função de transferência e . Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de lugar das raízes, identificar os polos e zeros do sistema, e aplicar as regras do método de desenho do lugar das raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os zeros e polos da função . Os zeros são os valores de que fazem o numerador ser zero, e os polos são os valores de que fazem o denominador ser zero.
Para :
  • Zeros: Resolvemos .
  • Polos: Resolvemos . Essa equação pode não ter raízes reais simples, mas para o lugar das raízes vamos considerar os polos complexos.

Passo 3

Agora, vamos traçar o lugar das raízes. O lugar das raízes mostra como as posições dos polos do sistema de malha fechada mudam no plano complexo à medida que o ganho varia de 0 a infinito.
As regras básicas para desenhar o lugar das raízes incluem:
  1. Identificar os polos e zeros no plano complexo.
  2. Determinar os assíntotas do lugar das raízes.
  3. Encontrar os pontos de interseção com o eixo imaginário.
  4. Esboçar as linhas do lugar das raízes com base nessas informações.

Passo 4

Primeiro, vamos identificar os polos e zeros:
  • Zero: .
  • Polos: as raízes de . Vamos calcular aproximadamente:
    • Usando a fórmula ou métodos numéricos, encontramos que os polos estão em e dois pares complexos conjugados .

Passo 5

Em seguida, determinamos as assíntotas. As assíntotas indicam para onde os ramos do lugar das raízes vão quando theta = (2q + 1)180°n - m tende ao infinito. A fórmula para o ângulo das assíntotas é:
theta = (2q + 1)180°2 = 90°, 270°
Onde:
  • é o número de polos.
  • é o número de zeros.
  • é um inteiro.
Aqui, e , então , e as assíntotas serão:
Portanto, as assíntotas estão a 90° e 270°, indicando que os ramos irão para cima e para baixo no plano imaginário.

Passo 6

Vamos encontrar o ponto de interseção das assíntotas no eixo real, que é dado por:
sigma = sum p - sum zn - m
Onde sum p = (-1) + 0.5 + 0.5 = 0 é a soma dos polos e sum z = -0,5 é a soma dos zeros.
Calculando:
sigma = 0 - (-0,5)2 = 0,52 = 0,25
Então, o ponto de interseção das assíntotas no eixo real é .

Passo 7

Por fim, vamos esboçar o lugar das raízes com base nas informações obtidas:
  • Os ramos começam nos polos e .
  • Há um ramo que se aproxima do zero em (zero).
  • As assíntotas indicam que um ramo vai para cima e outro para baixo, com inclinações de 90° e 270°, passando pelo ponto .
O lugar das raízes será um conjunto que conecta os polos ao zero, seguindo as assíntotas para aumentando.

Resposta

O lugar das raízes para o sistema de malha fechada é composto por ramos que partem dos polos e , convergem para o zero em e seguem assíntotas com ângulos de 90° e 270°, passando pelo ponto no plano complexo.

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