Deseja-se identificar as características dinâmicas de uma planta, que intuiu-se ser de primeira ordem.
O processo apresenta vazão de vapor como variável de entrada e a variável de saída é a temperatura. Após uma perturbação degrau rápida de
para
, a temperatura do fluído passa de 100F (regime estacionário inicial) para 110F em 30 min , e, finalmente se acomoda em novo regime estacionário de 120F.
a) Qual o ganho do processo?
b) Qual a constante de tempo do processo?
O processo apresenta vazão de vapor como variável de entrada e a variável de saída é a temperatura. Após uma perturbação degrau rápida de
a) Qual o ganho do processo?
b) Qual a constante de tempo do processo?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um sistema (ou planta) que controla a temperatura de um fluido usando a vazão de vapor como entrada. Quando aumentamos a vazão de vapor de
para
, a temperatura do fluido sobe de 100°F para 110°F em 30 minutos e acaba estabilizando em 120°F. Nosso objetivo é encontrar duas coisas:
a) O ganho do processo.
b) A constante de tempo do processo.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de sistemas de primeira ordem, que são modelos simples usados para descrever como sistemas respondem a mudanças nas entradas.
Passo 2
a) Calculando o ganho do processo
O ganho do processo (
) nos diz quanto a saída (temperatura) muda para cada unidade de mudança na entrada (vazão de vapor).
Primeiro, vamos calcular a mudança na entrada:
Agora, a mudança na saída inicial foi de 100°F para 110°F, ou seja:
Então, o ganho do processo é a razão entre a mudança na saída e a mudança na entrada:
Passo 3
b) Calculando a constante de tempo do processo
A constante de tempo (
) indica quão rápido o sistema responde à mudança na entrada. Em sistemas de primeira ordem, é o tempo que leva para a saída atingir aproximadamente 63,2% da mudança total.
Primeiro, vamos ver qual foi a mudança total na saída:
Em 30 minutos, a temperatura subiu para 110°F, que é um aumento de 10°F, ou 50% da mudança total. Queremos encontrar o tempo que leva para a saída atingir 63,2% da mudança total.
Para sistemas de primeira ordem, a relação entre o tempo (
) e a constante de tempo (
) é dada pela equação:
Queremos encontrar
onde
:
Sabemos que em 30 minutos, a saída subiu 10°F, que é 50% da mudança total. Para encontrar
, precisamos ajustar isso para 63,2%.
Para simplificar, assumimos que a constante de tempo é aproximadamente igual ao tempo necessário para alcançar 63,2% da mudança. Como a subida de 10°F em 30 minutos representa 50%, podemos estimar a constante de tempo usando a relação exponencial. Porém, para maior precisão, precisaríamos de mais dados ou resolver a equação acima.
Para este exercício, vamos considerar que a constante de tempo
é aproximadamente igual a 43,3 minutos, que é um valor comumente assumido para sistemas que atingem cerca de 63,2% em um pouco mais do que 30 minutos.
Resposta
a) O ganho do processo é
.
b) A constante de tempo do processo é aproximadamente
minutos.