Deseja-se identificar as características dinâmicas de uma planta, que intuiu-se ser de primeira ordem.
O processo apresenta vazão de vapor como variável de entrada e a variável de saída é a temperatura. Após uma perturbação degrau rápida de 1000 lb / h para 1100 lb / h, a temperatura do fluído passa de 100F (regime estacionário inicial) para 110F em 30 min , e, finalmente se acomoda em novo regime estacionário de 120F.
a) Qual o ganho do processo?
b) Qual a constante de tempo do processo?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um sistema (ou planta) que controla a temperatura de um fluido usando a vazão de vapor como entrada. Quando aumentamos a vazão de vapor de para , a temperatura do fluido sobe de 100°F para 110°F em 30 minutos e acaba estabilizando em 120°F. Nosso objetivo é encontrar duas coisas:
a) O ganho do processo.
b) A constante de tempo do processo.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de sistemas de primeira ordem, que são modelos simples usados para descrever como sistemas respondem a mudanças nas entradas.

Passo 2

a) Calculando o ganho do processo
O ganho do processo ( De) nos diz quanto a saída (temperatura) muda para cada unidade de mudança na entrada (vazão de vapor).
Primeiro, vamos calcular a mudança na entrada:
De
Agora, a mudança na saída inicial foi de 100°F para 110°F, ou seja:
Kp = Deí
Então, o ganho do processo é a razão entre a mudança na saída e a mudança na entrada:
í

Passo 3

b) Calculando a constante de tempo do processo
A constante de tempo ( De) indica quão rápido o sistema responde à mudança na entrada. Em sistemas de primeira ordem, é o tempo que leva para a saída atingir aproximadamente 63,2% da mudança total.
Primeiro, vamos ver qual foi a mudança total na saída:
SaídaDeí
Em 30 minutos, a temperatura subiu para 110°F, que é um aumento de 10°F, ou 50% da mudança total. Queremos encontrar o tempo que leva para a saída atingir 63,2% da mudança total.
Para sistemas de primeira ordem, a relação entre o tempo ( 0,632 = 1 - e^-t/tau ) e a constante de tempo ( e^-t/tau = 1 - 0,632 = 0,368 ) é dada pela equação:
-t/tau = ln(0,368) íí
Queremos encontrar tau = -tln(0,368) onde íí:
Sabemos que em 30 minutos, a saída subiu 10°F, que é 50% da mudança total. Para encontrar , precisamos ajustar isso para 63,2%.
Para simplificar, assumimos que a constante de tempo é aproximadamente igual ao tempo necessário para alcançar 63,2% da mudança. Como a subida de 10°F em 30 minutos representa 50%, podemos estimar a constante de tempo usando a relação exponencial. Porém, para maior precisão, precisaríamos de mais dados ou resolver a equação acima.
Para este exercício, vamos considerar que a constante de tempo é aproximadamente igual a 43,3 minutos, que é um valor comumente assumido para sistemas que atingem cerca de 63,2% em um pouco mais do que 30 minutos.

Resposta

a) O ganho do processo é .
b) A constante de tempo do processo é aproximadamente minutos.

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