Dado o produto interno \langle u, v\rangle no espaço vetorial E, prove que se tem |u+v|^{2}+|u-v|^{2}=2\left(|u|^{2}+|v|^{2}\right) para quaisquer u, v \in E. Interprete esta igualdade geometricamente.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em um espaço vetorial E munido de um produto interno \langle\cdot,\cdot\rangle e da norma associada \lvert u\rvert=\sqrt{\langle u,u\rangle}, vale a identidade
\lvert u+v\rvert^{2}+\lvert u-v\rvert^{2} =2\bigl(\lvert u\rvert^{2}+\lvert v\rvert^{2}\bigr)
para quaisquer u,v\in E.
O conteúdo principal é a identidade do paralelogramo, que decorre das propriedades de bilinearidade e simetria do produto interno.

Passo 2

Calculemos primeiro \lvert u+v\rvert^{2} usando a definição de norma e a bilinearidade do produto interno:
\lvert u+v\rvert^{2} =\langle u+v,\,u+v\rangle =\langle u,u\rangle+2\,\langle u,v\rangle+\langle v,v\rangle =\lvert u\rvert^{2}+2\,\langle u,v\rangle+\lvert v\rvert^{2}.

Passo 3

Agora façamos o mesmo para \lvert u-v\rvert^{2}:
\lvert u-v\rvert^{2} =\langle u-v,\,u-v\rangle =\langle u,u\rangle-2\,\langle u,v\rangle+\langle v,v\rangle =\lvert u\rvert^{2}-2\,\langle u,v\rangle+\lvert v\rvert^{2}.

Passo 4

Somando os dois resultados de forma a cancelar o termo 2\,\langle u,v\rangle, obtemos:
\lvert u+v\rvert^{2}+\lvert u-v\rvert^{2} =\bigl(\lvert u\rvert^{2}+2\,\langle u,v\rangle+\lvert v\rvert^{2}\bigr) +\bigl(\lvert u\rvert^{2}-2\,\langle u,v\rangle+\lvert v\rvert^{2}\bigr) =2\,\lvert u\rvert^{2}+2\,\lvert v\rvert^{2}.
Logo,
\lvert u+v\rvert^{2}+\lvert u-v\rvert^{2} =2\bigl(\lvert u\rvert^{2}+\lvert v\rvert^{2}\bigr),
como queríamos demonstrar.

Resposta

A identidade
\lvert u+v\rvert^{2}+\lvert u-v\rvert^{2} =2\bigl(\lvert u\rvert^{2}+\lvert v\rvert^{2}\bigr)
é conhecida como lei do paralelogramo. Geometricamente, ela diz que, num paralelogramo cujos lados são representados pelos vetores u e v, a soma dos quadrados dos comprimentos das duas diagonais \lvert u+v\rvert e \lvert u-v\rvert é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos quatro lados (dois de comprimento \lvert u\rvert e dois de comprimento \lvert v\rvert).

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