Dado o produto interno
no espaço vetorial
, prove que se tem
para quaisquer
. Interprete esta igualdade geometricamente.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em um espaço vetorial
munido de um produto interno
e da norma associada
, vale a identidade
para quaisquer
.
O conteúdo principal é a identidade do paralelogramo, que decorre das propriedades de bilinearidade e simetria do produto interno.
O conteúdo principal é a identidade do paralelogramo, que decorre das propriedades de bilinearidade e simetria do produto interno.
Passo 2
Calculemos primeiro
usando a definição de norma e a bilinearidade do produto interno:
Passo 3
Agora façamos o mesmo para
:
Passo 4
Somando os dois resultados de forma a cancelar o termo
, obtemos:
Logo,
como queríamos demonstrar.
Resposta
A identidade
é conhecida como lei do paralelogramo. Geometricamente, ela diz que, num paralelogramo cujos lados são representados pelos vetores
e
, a soma dos quadrados dos comprimentos das duas diagonais
e
é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos quatro lados (dois de comprimento
e dois de comprimento
).